Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 70 kNtramo 1: Ø40 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 0,5 m de A, actúa un par de 750 N·m, y en el extremo libre C, 1 m más allá, actúa un par de 1000 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia x_c desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).

L = 6,5 mw = 12 kN/m de 0 a 6,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

x_c = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 120 mm y un diámetro interior d = 92 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

D = 120 mmd = 92 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 40 × 40 mmcentro del agujero: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −20 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 25° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 19 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 24,14 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/1,036 × 10⁻⁵ = 24141 N = 24,14 kN

Respuesta

P = 24,14 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 348,2 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 348,2 MPa

Respuesta

σ_max = 348,2 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 2,155 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Respuesta

φ = 2,155°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 1,313 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 750 = 250 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·500/(80000·613592) = 0,002546 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(80000·613592) = 0,02037 rad

Torsión del extremo C

φ_C = 0,002546 + 0,02037 = 0,02292 rad → |φ_C| = 1,313°

Respuesta

φ_C = 1,313°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 36,33 kN, R₂ = 54,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 60,67, M_D = 82, M_E = 97,33 kN·m, M_F = 51,67, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 97,33 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x_c = 4,55 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·6,5 = 78 kN, aplicada en x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6,5·3,25

R_B = 253,5/5 = 50,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 50,7 = 27,3 kN

Momento nulo

Entre los apoyos M(x) = R_A·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·27,3/12 = 4,55 m

Respuesta

x_c = 4,55 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 37,8 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

A = π(D² − d²)/4 = 4662 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6,662 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(6,662 × 10⁶/4662) = 37,8 mm

Respuesta

r = 37,8 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 54,52 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 1600·105)/(30000 − 1600) = 73,31 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·1,69² = 56,34 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

40·40³/12 + 1600·31,69² = 1,82 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 54,52 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 54,52 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 49,73 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −10/60,83 = −0,1644, sin 2θ_s = −(−60)/60,83 = 0,9864

2θ_s = atan2(60, −10) = 99,46°

Ángulo en el elemento

θ_s = 49,73°

comprobación: θ_s − θ_p = 49,73 − (−85,27) = 135°

Respuesta

θ_s = 49,73°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 1,1 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−35·0,766 + −40·0,6428 = 1,1 MPa

Respuesta

τ_θ = 1,1 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 50,48 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·4000³/(3·1,12 × 10¹³) = 36,19 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 14,29 mm

Súmalas

δ = 36,19 + 14,29 = 50,48 mm

Respuesta

δ = 50,48 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 28,13 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Respuesta

R_B = 28,13 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 558,1 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Respuesta

P_cr = 558,1 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 1,919 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Respuesta

σ_cr = 1,919 MPa

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