Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 10 mmLatón1,5 mP = 115 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 115 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 35 mmLatón1 mØ 16 mmCobre1 mP = 65 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 65 kNtramo 1: Ø35 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
d = 20 mmT = 30 N·m250 mmφ = 0,7°

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 20 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 250 mm giran 0,7° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 30 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,7°
G = GPa
4.Torsión de ejesDifícil
Tdo​ = 60 mm, di​ = 45 mm

Un eje hueco transmite 75 kW a 500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

P = 75 kWN = 500 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 80 kNP2​ = 75 kNABC2 m6 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9,5 mP1 = 80 kN en 2 mP2 = 75 kN en 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
MB = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
35 kN20 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 0 m20 kN @ 12 m15 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2603020018xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
1002018010xM = 20 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 180 mmM = 20 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 70σy​ = −40τxy​ = 40MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 70 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = 160σy​ = 80τxy​ = −40MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 10 kN/mδL = 3 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
P = 45 kNAB2,5 m2,5 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.

L = 5 mP = 45 kN en 2,5 m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 1 m25 × 50 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 80 kNL = 3 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 80 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 80 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 21,96 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1464/100000 = 0,01464 = 14642 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,01464·1500 mm = 21,96 mm

Respuesta

δ = 21,96 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,439 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 67,56 MPa
σ2 = 323,3 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ1 = σ1L1/E1 = 67,56·1000/100000 = 0,6756 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 323,3·1000/117000 = 2,763 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,439 mm

Respuesta

δ = 3,439 mm
3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 39,08 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0,7·π/180 = 0,01222 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(15708·0,01222) = 39081 MPa
G = 39,08 GPa

Respuesta

G = 39,08 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 49,41 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Momento polar de inercia

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tensión cortante máxima

τmax = T·(do/2)/J = 1,432 × 10⁶·30/869767 = 49,41 MPa

Respuesta

τmax = 49,41 MPa
5.Cortante y momento flector

Respuesta: MB = −112,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·2 + 75·9,5
RB = 872,5/8 = 109,1 kN
ΣFy = 0: RA = 155 − 109,1 = 45,94 kN

Corta en B y quédate con el voladizo

Sobre el voladizo solo actúa P2, con brazo de palanca a. Flexiona la viga hacia arriba sobre el apoyo (momento negativo).

MB = −P2·a = −75·1,5 = −112,5 kN·m

Respuesta

MB = −112,5 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 43,33 kN, R2 = 26,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −70, MC = −53,33, MD = −66,67, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = −80 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 45,16 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
alma: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·215 + 3600·100)/11400 = 178,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·30³/12 + 7800·(215 − 178,7)² = 1,087 × 10⁷ mm⁴
alma: 18·200³/12 + 3600·(100 − 178,7)² = 3,429 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,087 × 10⁷ + 3,429 × 10⁷ = 4,516 × 10⁷ mm⁴ = 45,16 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 45,16 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σinferior = 198,1 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
alma: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·190 + 1800·90)/3800 = 142,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·20³/12 + 2000·(190 − 142,6)² = 4,554 × 10⁶ mm⁴
alma: 10·180³/12 + 1800·(90 − 142,6)² = 9,846 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4,554 × 10⁶ + 9,846 × 10⁶ = 1,44 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 142,6 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·142,6/1,44 × 10⁷ = 198,1 MPa

Respuesta

σinferior = 198,1 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 68,01 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((70 − −40)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Respuesta

τmax = 68,01 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τθ = −40 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

τθ = −40·1 + −40·0 = −40 MPa

Respuesta

τθ = −40 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 17,73 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 17,73 mm

Respuesta

δmax = 17,73 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: RB = 14,06 kN

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Respuesta

RB = 14,06 kN
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 32,13 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32,13 kN

Respuesta

Pcr = 32,13 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 63,17 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,17 mm

Respuesta

d = 63,17 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 94,98, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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