Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.
P = 85 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.
tramo 1: acero, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 250 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 250 N·mdi/do = 0,8τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de acero de 40 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 1000 N·m en C, a 2 m de A y a 3 m de B. Halla el par de reacción TA en el muro A.
d = 40 mmT0 = 1000 N·ma = 2 mb = 3 m
TA = N·m
5.Cortante y momento flectorMedia
Halla el momento flector Mx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 8 mw = 6 kN/m de 0 a 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia xc desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).
L = 10 mw = 4 kN/m de 0 a 10 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
xc = m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 180 mm de ancho con dos alas verticales de 80 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 18 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 180 mmh = 80 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = −40 MPa, σᵧ = −30 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 20° en sentido horario. Halla la tensión normal σy′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.
σx = −40 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un eje macizo de 25 mm de diámetro soporta una fuerza axial de compresión de 180 kN junto con un par de 400 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ1.
d = 25 mmF = −180 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla el valor del momento flector MA en el empotramiento.
L = 6 mP = 80 kN en 3 m
MA = kN·m
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 15 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 7,421 mm
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 173,2/70000 = 0,002474 = 2474 µε
Alargamiento
δ = ε·L = 0,002474·3000 mm = 7,421 mm
Respuesta
δ = 7,421 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σ2 = 8,961 MPa
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Rigideces
k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm
Parte del tramo 2
F2 = 40000·565487/892736 = 25337 N
Tensión
σ2 = 25337/2827 = 8,961 MPa (compresión)
Respuesta
σ2 = 8,961 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 37,78 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0,5904)) = 37,78 mm
di = 0,8·37,78 = 30,22 mm
Respuesta
do = 37,78 mm
Un eje macizo necesitaría d = 31,69 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: TA = 600 N·m
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).
Equilibrio y compatibilidad
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·3/5 = 600 N·m
TB = 1000·2/5 = 400 N·m
Respuesta
TA = 600 N·m
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 21 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 24·1 − 6·1·0,5 = 21 kN·m
Respuesta
Mx = 21 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: xc = 7,5 m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·10·5
RB = 200/8 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN
Momento nulo
Entre los apoyos M(x) = RA·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2RA/w.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·15/4 = 7,5 m
Respuesta
xc = 7,5 m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 25,32 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 180·18 = 3240 mm², y1 = 9 mm
dos alas: A2 = 2·18·62 = 2232 mm², y2 = 18 + 62/2 = 49 mm
Centroide
ȳ = (3240·9 + 2232·49)/5472 = 25,32 mm
Respuesta
ȳ = 25,32 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 93,73 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
alma: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·295 + 3360·140)/11760 = 250,7 mm
Teorema de Steiner
ala: 280·30³/12 + 8400·(295 − 250,7)² = 1,71 × 10⁷ mm⁴
alma: 12·280³/12 + 3360·(140 − 250,7)² = 6,314 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,71 × 10⁷ + 6,314 × 10⁷ = 8,024 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 250,7 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·250,7/8,024 × 10⁷ = 93,73 MPa
Respuesta
σinferior = 93,73 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σy′ = −44,03 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación para la cara y′
σy′ = −35 − (−5)·0,766 − (−20)·(−0,6428) = −44,03 MPa
Comprobación
La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.
σx′ = −25,97 MPa, σx′ + σy′ = −70 = σx + σy
Respuesta
σy′ = −44,03 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σ1 = 41,63 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Tensiones en la superficie
σ = F/A = −180000/(π·25²/4) = −180000/490,9 = −366,7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa
Círculo de Mohr
C = σ/2 = −183,3 MPa
R = √((−183,3)² + 130,4²) = 225 MPa
σ1 = C + R = 41,63 MPa
σ2 = C − R = −408,3 MPa
Respuesta
σ1 = 41,63 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 1,07 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²
Flecha
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,07 mm
Respuesta
δmax = 1,07 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: MA = 90 kN·m
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).
Quita el apoyo adicional
Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
Compatibilidad en el apoyo B
La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN
Momento en el empotramiento
Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.
MA = P·L/2 − RB·L = 240 − 150 = 90 kN·m
Respuesta
MA = 90 kN·m
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 62,01 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 1·2000 = 2000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN
Respuesta
Pcr = 62,01 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 81,71 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm
Respuesta
d = 81,71 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 587,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials