Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
La velocidad de un vehículo se mide cada 5 s (tabla). Estima la distancia s recorrida de t = 0 a t = 30 s con la regla del trapecio.
h = 5 sn = 6
s = m
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Heun (Euler mejorado) con h = 0,5 para y′ = 2y, y(0) = 2 para estimar y2 ≈ y(1).
y′ = 2yy(0) = 2h = 0,5
y2 =
3.Sucesiones y seriesMedia
Exactamente una de las cuatro series diverge. Haz clic en ella.
A: Σ (−1)ᵏ/kB: Σ k/(k + 7)C: Σ (3/4)ᵏD: Σ 3/k³
1A: Σ (−1)ᵏ/k
2B: Σ k/(k + 7)
3C: Σ (3/4)ᵏ
4D: Σ 3/k³
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = cos x se aproxima por su polinomio de Maclaurin de grado 2 en x = 0,5. Usa la cota del error de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 para hallar el mayor error posible |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 0,5M = 1
|R₂| =
5.Matrices y determinantesMedia
Sea C = AB para las matrices mostradas. Calcula el elemento c11 (fila 1, columna 1).
A = [3 −2; −3 −2]B = [−3 0; −2 −5]
c11 =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema 5x − 2y = −12 y 2x + 6y = −5. Calcula x.
5x − 2y = −122x + 6y = −5
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una pieza de acero forjado a 500 °C se deja enfriar en un taller a 21 °C. Al cabo de 31 min su temperatura es 210 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 384 °C?
T0 = 500 °CTa = 21 °CT(31) = 210 °CT = 384 °C
t = min
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Resuelve y′ + y = 6e−3t con y(0) = 2. Halla y(0,5).
y′ + y = 6e−3ty(0) = 2
y(0.5) =
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: s = 312,5 m
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Suma ponderada
0 + 2·4 + 2·9 + 2·7 + 2·13 + 2·18 + 23 = 125
Regla del trapecio
s = (5/2)·125 = 312,5 m
Respuesta
s = 312,5 m
2.Métodos numéricos
Respuesta: y2 = 12,5
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Pasos de Heun
y₁ = 2 + (0,5/2)(4 + 8) = 5
y₂ = 5 + (0,5/2)(10 + 20) = 12,5
Gráfico
y2 = 12,5
Respuesta
y2 = 12,5
El valor exacto es y(1) = 14,778112.
3.Sucesiones y series
Respuesta: B: Σ k/(k + 7)
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Prueba cada serie
A: Σ (−1)ᵏ/k → Alternada, con 1/k decreciendo hacia 0: converge (condicionalmente).
B: Σ k/(k + 7) → Los términos tienden a 1, no a 0: diverge por el criterio del término n-ésimo.
C: Σ (3/4)ᵏ → Geométrica con r = 3/4, |r| < 1: converge.
D: Σ 3/k³ → Serie p con p = 3 > 1: converge.
La respuesta
B: Σ k/(k + 7)
Respuesta
B: Σ k/(k + 7)
4.Sucesiones y series
Respuesta: |R₂| = 0,02083
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cota de la derivada
M = 1
Cota de Lagrange
|R₂| ≤ 1·0,5³/3! = 0,02083
Respuesta
|R₂| = 0,02083
El error real es menor: |f(0,5) − P₂(0,5)| = 0,002583.
5.Matrices y determinantes
Respuesta: c11 = −5
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Fila por columna
c11 = 3·(−3) + (−2)·(−2) = −5
Respuesta
c11 = −5
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = −2,412
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = 5·6 − (−2)·2 = 34
Sustituir la columna de x
det Aₓ = (−12)·6 − (−2)·(−5) = −82
x = −82/34 = −2,412
Respuesta
x = −2,412
y = −0,02941
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: t = 9,244 min
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Constante de enfriamiento
k = ln(479/189)/31 = 0,03 min⁻¹
Tiempo hasta alcanzar el objetivo
t = ln(479/363)/0,03 = 9,244 min
Respuesta
t = 9,244 min
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(0.5) = 2,363
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.