Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Se usa la regla del trapecio para ∫02 x³ dx. El error es como máximo (b − a)³·M/(12n²) con M = max|f″| en [0, 2]. Halla el menor número de franjas n que garantiza un error inferior a 0,001.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Euler con h = 0,2 para y′ = t + y, y(0) = −1 para estimar y5 ≈ y(1).
y′ = t + yy(0) = −1h = 0,2
y5 =
3.Sucesiones y seriesMedia
Halla la suma S = Σk=1∞ 6/(k(k + 1)).
ak = 6/(k(k + 1))
S =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = cos x se aproxima en x = 1 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁶.
f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Matrices y determinantesMedia
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
A = [4 3 2; −5 3 −3; −3 5 −1]
det A =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema −5x − 4y = 8 y −3x − y = −4. Calcula x.
−5x − 4y = 8−3x − y = −4
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Resuelve y″ + 4y′ + 4y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 2. Halla y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(2) =
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un sistema obedece y″ + y′ + 9,25y = 46,25 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(1); ángulos en radianes.
y″ + y′ + 9,25y = 46,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: n = 90
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Cota de la segunda derivada
M = 6·2 = 12
Despejar n
n² > 8·12/(12·0,001) = 8000
n > 89,44 → n = 90
Respuesta
n = 90
2.Métodos numéricos
Respuesta: y5 = −2
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Pasos de Euler
y₁ = −1 + 0,2·(−1) = −1,2
y₂ = −1,2 + 0,2·(−1) = −1,4
y₃ = −1,4 + 0,2·(−1) = −1,6
y₄ = −1,6 + 0,2·(−1) = −1,8
y₅ = −1,8 + 0,2·(−1) = −2
Gráfico
y5 = −2
Respuesta
y5 = −2
El valor exacto es y(1) = −2.
3.Sucesiones y series
Respuesta: S = 6
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Fracciones parciales
6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))
Cancelar
S = 6·1 = 6
Respuesta
S = 6
4.Sucesiones y series
Respuesta: n = 9
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cotas para n creciente
n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Menor grado
n = 9
Respuesta
n = 9
5.Matrices y determinantes
Respuesta: det A = 28
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Menores 2×2 de la primera fila
M₁₁ = 12, M₁₂ = −4, M₁₃ = −16
Desarrollo por cofactores
det A = 4·12 − 3·(−4) + 2·(−16) = 28
Respuesta
det A = 28
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = 3,429
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = (−5)·(−1) − (−4)·(−3) = −7
Sustituir la columna de x
det Aₓ = 8·(−1) − (−4)·(−4) = −24
x = −24/(−7) = 3,429
Respuesta
x = 3,429
y = −6,286
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(2) = 0,1648
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Raíz doble
(r + 2)² = 0 → r = −2
Constantes
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = 2 + 2 = 4
Evalúa
y(2) = (1 + 4·2)·e−4 = 0,1648
Respuesta
y(2) = 0,1648
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(1) = 7,931
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.