Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Aproxima ∫02 sin(x²) dx con la regla del trapecio usando n = 2 franjas. Da T.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
2.Métodos numéricosDifícil
Resuelve y′ = y − t², y(0) = 0,5 con el método de Euler y paso h = 0,5 hasta t = 1,5. La solución exacta es y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Halla el error global |E| = |y(1,5) − y3|.
y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,5
|E| =
3.Sucesiones y seriesMedia
Halla la suma S = Σk=1∞ 1/(k(k + 2)).
ak = 1/(k(k + 2))
S =
4.Sucesiones y seriesDifícil
Usa el polinomio de Maclaurin de grado 3 de f(x) = ln(1 + 2x) para aproximar f(0,25). Da P₃(0,25).
f(x) = ln(1 + 2x)n = 3x = 0,25
P₃(0.25) =
5.Matrices y determinantesMedia
Sea C = AB para las matrices mostradas. Calcula el elemento c11 (fila 1, columna 1).
A = [1 −2; 2 2]B = [5 5; −5 −5]
c11 =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema −2x + 4y = −6 y −6x − 3y = −3. Calcula x.
−2x + 4y = −6−6x − 3y = −3
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una lata de refresco a 3 °C se saca del frigorífico a una habitación a 23 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,08 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 9 min.
T0 = 3 °CTa = 23 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 9 min
T = °C
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Resuelve y′ + y = 2e−2t con y(0) = 4. Halla y(1,5).
y′ + y = 2e−2ty(0) = 4
y(1.5) =
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: T = 0,4631
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Nodos y valores
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,841471 − 0,756802 = 0,926139
Regla del trapecio
T = (1/2)·0,926139 = 0,4631
Respuesta
T = 0,4631
Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.
2.Métodos numéricos
Respuesta: |E| = 0,4725
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Pasos de Euler
y3 = 1
Valor exacto
y(1,5) = 0,527466
Error global
|E| = |0,527466 − 1| = 0,4725
Gráfico
Respuesta
|E| = 0,4725
Reducir h a la mitad reduce aproximadamente a la mitad el error del método de Euler.
3.Sucesiones y series
Respuesta: S = 0,75
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Fracciones parciales
1/(k(k + 2)) = (1/2)·(1/k − 1/(k + 2))
Cancelar
S = (1/2)·(1 + 1/2) = 0,75
Respuesta
S = 0,75
4.Sucesiones y series
Respuesta: P₃(0.25) = 0,4167
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Polinomio de Maclaurin
P₃(x) = 2x − 2x² + 2,667x³
Sustituir
P₃(0,25) = 0,5 − 0,125 + 0,0416667 = 0,4167
Respuesta
P₃(0,25) = 0,4167
El valor exacto es f(0,25) = 0,405465; el error −0,0112016 disminuye si tomas más términos o un punto más cercano a 0.
5.Matrices y determinantes
Respuesta: c11 = 15
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Fila por columna
c11 = 1·5 + (−2)·(−5) = 15
Respuesta
c11 = 15
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = 1
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = (−2)·(−3) − 4·(−6) = 30
Sustituir la columna de x
det Aₓ = (−6)·(−3) − 4·(−3) = 30
x = 30/30 = 1
Respuesta
x = 1
y = −1
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: T = 13,26 °C
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Solución de la ley de enfriamiento
T(t) = 23 + (−20)·e−0,08t
Sustituye t
T(9) = 23 + (−20)·0,4868 = 13,26 °C
Respuesta
T = 13,26 °C
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(1.5) = 1,239
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.