Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Aproxima ∫01 √(1 + x³) dx con la regla del trapecio usando n = 6 franjas. Da T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
T =
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Euler con h = 0,1 para y′ = cos t − y, y(0) = 0,5 para estimar y5 ≈ y(0,5).
y′ = cos t − yy(0) = 0,5h = 0,1
y5 =
3.Sucesiones y seriesMedia
Exactamente una de las cuatro series diverge. Haz clic en ella.
A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ (4/3)ᵏC: Σ 3/k²D: Σ 1/(2ᵏ + k)
1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ (4/3)ᵏ
3C: Σ 3/k²
4D: Σ 1/(2ᵏ + k)
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = cos x se aproxima en x = 0,5 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁵.
f(x) = cos xx = 0,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrices y determinantesMedia
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
A = [5 2 −3; 2 3 4; 3 −1 −4]
det A =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema 2x − 2y = 3 y 6x − 2y = −1. Calcula x.
2x − 2y = 36x − 2y = −1
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una lata de refresco a 5 °C se saca del frigorífico a una habitación a 29 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,07 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 20 min.
T0 = 5 °CTa = 29 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 20 min
T = °C
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un depósito contiene 400 L de agua en la que hay disueltos 5 kg de sal. Entra salmuera con 0,1 kg de sal por litro a 20 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Cuánta sal m hay en el depósito al cabo de 5 min?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: T = 1,114
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.
2.Métodos numéricos
Respuesta: y5 = 0,6909
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Pasos de Euler
y₁ = 0,5 + 0,1·(0,5) = 0,55
y₂ = 0,55 + 0,1·(0,445004) = 0,5945
y₃ = 0,5945 + 0,1·(0,385566) = 0,633057
y₄ = 0,633057 + 0,1·(0,322279) = 0,665285
y₅ = 0,665285 + 0,1·(0,255776) = 0,690863
Gráfico
y5 = 0,6909
Respuesta
y5 = 0,6909
3.Sucesiones y series
Respuesta: B: Σ (4/3)ᵏ
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Prueba cada serie
A: Σ (−1)ᵏ/√k → Alternada, con 1/√k decreciendo hacia 0: converge (condicionalmente).
B: Σ (4/3)ᵏ → Geométrica con r = 4/3 > 1: los términos crecen, así que diverge.
C: Σ 3/k² → Serie p con p = 2 > 1: converge.
D: Σ 1/(2ᵏ + k) → Menor que (1/2)ᵏ, una serie geométrica convergente: converge por comparación.
La respuesta
B: Σ (4/3)ᵏ
Respuesta
B: Σ (4/3)ᵏ
4.Sucesiones y series
Respuesta: n = 6
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cotas para n creciente
n = 5: 2,17 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 1,55 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Menor grado
n = 6
Respuesta
n = 6
5.Matrices y determinantes
Respuesta: det A = 33
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Menores 2×2 de la primera fila
M₁₁ = −8, M₁₂ = −20, M₁₃ = −11
Desarrollo por cofactores
det A = 5·(−8) − 2·(−20) + (−3)·(−11) = 33
Respuesta
det A = 33
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = −1
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = 2·(−2) − (−2)·6 = 8
Sustituir la columna de x
det Aₓ = 3·(−2) − (−2)·(−1) = −8
x = −8/8 = −1
Respuesta
x = −1
y = −2,5
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: T = 23,08 °C
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Solución de la ley de enfriamiento
T(t) = 29 + (−24)·e−0,07t
Sustituye t
T(20) = 29 + (−24)·0,2466 = 23,08 °C
Respuesta
T = 23,08 °C
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: m = 12,74 kg
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Plantea la ecuación
dm/dt = 20·0,1 − (20/400)·m = 2 − 0,05·m
Resuelve
El factor integrante es ert/V; la solución tiende al equilibrio c·V.