Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Aproxima ∫01,5 e−x² dx con la regla del trapecio usando n = 2 franjas. Da T.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 2
T =
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Euler con h = 0,25 para y′ = cos t − y, y(0) = 2 para estimar y3 ≈ y(0,75).
y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,25
y3 =
3.Sucesiones y seriesMedia
Halla la suma S = Σk=1∞ 2/(k(k + 3)).
ak = 2/(k(k + 3))
S =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = eˣ se aproxima en x = 0,5 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 2, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Matrices y determinantesMedia
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
A = [0 −1 2; −3 −3 −3; 4 5 1]
det A =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema 3x − y = 6 y 2x + y = 10. Calcula x.
3x − y = 62x + y = 10
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Resuelve y″ + 8y′ + 15y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 2. Halla y(1).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(1) =
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un sistema obedece y″ + y′ + 16,25y = 81,25 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(0,5); ángulos en radianes.
y″ + y′ + 16,25y = 81,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: T = 0,8419
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Nodos y valores
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,569783 + 0,105399 = 2,244965
Regla del trapecio
T = (0,75/2)·2,244965 = 0,8419
Respuesta
T = 0,8419
Esta integral no tiene primitiva elemental, que es justo cuando hace falta una regla numérica.
2.Métodos numéricos
Respuesta: y3 = 1,385
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Pasos de Euler
y₁ = 2 + 0,25·(−1) = 1,75
y₂ = 1,75 + 0,25·(−0,781088) = 1,554728
y₃ = 1,554728 + 0,25·(−0,677146) = 1,385442
Gráfico
y3 = 1,385
Respuesta
y3 = 1,385
3.Sucesiones y series
Respuesta: S = 1,222
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Fracciones parciales
2/(k(k + 3)) = (2/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Cancelar
S = (2/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,222
Respuesta
S = 1,222
4.Sucesiones y series
Respuesta: n = 6
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cotas para n creciente
n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Menor grado
n = 6
Respuesta
n = 6
5.Matrices y determinantes
Respuesta: det A = 3
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Menores 2×2 de la primera fila
M₁₁ = 12, M₁₂ = 9, M₁₃ = −3
Desarrollo por cofactores
det A = 0·12 − (−1)·9 + 2·(−3) = 3
Respuesta
det A = 3
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = 3,2
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = 3·1 − (−1)·2 = 5
Sustituir la columna de x
det Aₓ = 6·1 − (−1)·10 = 16
x = 16/5 = 3,2
Respuesta
x = 3,2
y = 3,6
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(1) = 0,3861
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Raíces características
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
Constantes a partir de los valores iniciales
A + B = 3, −3A − 5B = 2
A = 8,5, B = −5,5
Evalúa
y(1) = 8,5·e−3 + (−5,5)·e−5 = 0,3861
Respuesta
y(1) = 0,3861
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(0.5) = 6,178
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.