Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Aproxima ∫02 eˣ dx con la regla de Simpson, n = 2, y compárala con el valor exacto. Halla el error absoluto |E| = |S − I|.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Heun (Euler mejorado) con h = 0,2 para y′ = t² + y², y(0) = 0,5 para estimar y2 ≈ y(0,4).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
3.Sucesiones y seriesMedia
La serie de potencias Σk=1∞ k²·4ᵏ·(x + 2)ᵏ converge en un intervalo alrededor de x₀ = −2. Halla el extremo derecho x de ese intervalo.
Σ k²·4ᵏ·(x + 2)ᵏx₀ = −2
x =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = sin x se aproxima por su polinomio de Maclaurin de grado 4 en x = 0,5. Usa la cota del error de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! con M = 1 para hallar el mayor error posible |R₄|.
f(x) = sin xn = 4x = 0,5M = 1
|R₄| =
5.Matrices y determinantesMedia
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
A = [−1 1 3; 2 −3 1; 4 0 3]
det A =
6.Matrices y determinantesDifícil
Calcula el valor propio mayor λ de la matriz A mostrada.
A = [−1 −1; −5 3]
λ =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Resuelve y″ + 4y′ + 4y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 1. Halla y(2).
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Valor exacto
I = 6,389056
Regla de Simpson
S = (1/3)·(1 + 4·2,718282 + 7,389056) = 6,420728
Error
|E| = |6,420728 − 6,389056| = 0,03167
Respuesta
|E| = 0,03167
Error relativo: 0,4957 %.
2.Métodos numéricos
Respuesta: y2 = 0,6502
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Coeficientes
ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1))² → 1/4
Radio
R = 0,25
Intervalo
−2,25 < x < −1,75
x = −1,75
Respuesta
x = −1,75
El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.
4.Sucesiones y series
Respuesta: |R₄| = 0,0002604
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cota de la derivada
M = 1
Cota de Lagrange
|R₄| ≤ 1·0,5⁵/5! = 0,0002604
Respuesta
|R₄| = 0,0002604
El error real es menor: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,0002589.
5.Matrices y determinantes
Respuesta: det A = 43
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Menores 2×2 de la primera fila
M₁₁ = −9, M₁₂ = 2, M₁₃ = 12
Desarrollo por cofactores
det A = (−1)·(−9) − 1·2 + 3·12 = 43
Respuesta
det A = 43
6.Matrices y determinantes
Respuesta: λ = 4
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Ecuación característica
λ² − (2)λ + (−8) = 0
Resuelve
λ = (2 ± √(36))/2 → λ = −2, 4
λ = 4
Respuesta
λ = 4
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(2) = 0,1282
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Raíz doble
(r + 2)² = 0 → r = −2
Constantes
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = 1 + 2 = 3
Evalúa
y(2) = (1 + 3·2)·e−4 = 0,1282
Respuesta
y(2) = 0,1282
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(1.5) = 2,585
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.