Para una raíz: comprueba el cambio de signo en la bisección, o calcula f y f′ en Newton, y conserva seis o más cifras en una tabla de iteraciones.
Para un valor de una tabla: interpola linealmente entre los dos puntos vecinos.
Para una integral: halla h = (b − a)/n, lista f en cada nodo, aplica los pesos (1, 2, …, 2, 1 para el trapecio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson con n par) y multiplica por h/2 o h/3.
Para una EDO: avanza desde t₀ con yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) o con la pendiente promediada (Heun), una fila por paso, hasta llegar al t pedido.
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices y determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa de 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Producto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores propios
det(A − λI) = 0
Regla de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.Métodos numéricosMedia
Aproxima ∫14 1/x dx con la regla de Simpson, n = 2, y compárala con el valor exacto. Halla el error absoluto |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 4]n = 2
|E| =
2.Métodos numéricosDifícil
Usa el método de Heun (Euler mejorado) con h = 0,2 para y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 para estimar y2 ≈ y(0,4).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
3.Sucesiones y seriesMedia
Aplica el criterio del cociente a Σk=1∞ kᵏ/(2ᵏ·k!). Halla L = lim |ak+1/ak|.
ak = kᵏ/(2ᵏ·k!)
L =
4.Sucesiones y seriesDifícil
Usa el polinomio de Maclaurin de grado 5 de f(x) = sin x para aproximar f(2). Da P₅(2).
f(x) = sin xn = 5x = 2
P₅(2) =
5.Matrices y determinantesMedia
Calcula el determinante det A de la matriz 3×3 A mostrada.
A = [−4 4 −3; −3 −4 −4; 1 3 −5]
det A =
6.Matrices y determinantesDifícil
Resuelve el sistema 5x − 2y = −2 y 2x − 6y = 2. Calcula x.
5x − 2y = −22x − 6y = 2
x =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una pieza de acero forjado a 360 °C se deja enfriar en un taller a 29 °C. Al cabo de 31 min su temperatura es 272 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 29 °CT(31) = 272 °C
k = min⁻¹
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Resuelve el problema de valor inicial y′ + y/x = 4x2 para x > 0, con y(1) = −2. Halla y(3).
y′ + y/x = 4x2y(1) = −2
y(3) =
3Disoluciones
1.Métodos numéricos
Respuesta: |E| = 0,03871
Integración numérica: divide [a, b] en n franjas de anchura h = (b − a)/n con nodos x₀ … xₙ. Regla del trapecio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regla de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. El error del trapecio disminuye como h² (cota (b − a)h²·M/12 con M = max|f″|) y el de Simpson como h⁴, así que Simpson suele ser mucho más preciso con los mismos nodos.
Valor exacto
I = 1,386294
Regla de Simpson
S = (1,5/3)·(1 + 4·0,4 + 0,25) = 1,425
Error
|E| = |1,425 − 1,386294| = 0,03871
Respuesta
|E| = 0,03871
Error relativo: 2,792 %.
2.Métodos numéricos
Respuesta: y2 = 0,8488
Solución numérica de y′ = f(t, y): el método de Euler avanza según la pendiente al inicio de cada paso: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). El método de Heun (Euler mejorado) promedia la pendiente al inicio y en una predicción de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). El método clásico de Runge–Kutta (RK4) combina cuatro pendientes: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El error global de Euler es proporcional a h, el de Heun a h² y el de RK4 a h⁴.
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Cociente de términos consecutivos
|ak+1/ak| = (1 + 1/k)ᵏ/2 → e/2
Conclusión
L = 1,359 > 1
Respuesta
L = 1,359
L > 1, así que la serie diverge.
4.Sucesiones y series
Respuesta: P₅(2) = 0,9333
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Polinomio de Maclaurin
P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵
Sustituir
P₅(2) = 2 − 1,333333 + 0,266667 = 0,9333
Respuesta
P₅(2) = 0,9333
El valor exacto es f(2) = 0,909297; el error −0,0240359 disminuye si tomas más términos o un punto más cercano a 0.
5.Matrices y determinantes
Respuesta: det A = −189
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Menores 2×2 de la primera fila
M₁₁ = 32, M₁₂ = 19, M₁₃ = −5
Desarrollo por cofactores
det A = (−4)·32 − 4·19 + (−3)·(−5) = −189
Respuesta
det A = −189
6.Matrices y determinantes
Respuesta: x = −0,6154
Matrices: el determinante de una matriz 2×2 es ad − bc. En 3×3, desarrolla por una fila: cada elemento por el determinante de la matriz 2×2 que queda al quitar su fila y su columna, con signos alternos + − +. Los valores propios λ cumplen det(A − λI) = 0; en 2×2 es λ² − (traza)·λ + det = 0.
Determinante de la matriz de coeficientes
det A = 5·(−6) − (−2)·2 = −26
Sustituir la columna de x
det Aₓ = (−2)·(−6) − (−2)·2 = 16
x = 16/(−26) = −0,6154
Respuesta
x = −0,6154
y = −0,5385
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: k = 0,00997 min⁻¹
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Cociente de diferencias de temperatura
e−31k = 243/331
Despeja k
k = ln(331/243)/31 = 0,00997 min⁻¹
Respuesta
k = 0,00997 min⁻¹
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(3) = 26
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.