Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++3 µC−−10 µCP50 cm

Una carga de +3 µC y una carga de −10 µC están separadas 50 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 25 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q1 = +3 µCq2 = −10 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
L = 80 cm15°qq

Dos bolitas idénticas, cada una de 8 g de masa, cuelgan del mismo punto mediante hilos aislantes de 80 cm de longitud. Se les dan cargas iguales y cada hilo queda a 15° de la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la carga q de cada bolita en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.

V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩIR2​AR4​6 ΩBR6​3 Ω

Halla la corriente IR2 por R2.

V1 = 6 VR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 ΩR5 = 4 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
+−Vs​10 Vt = 0R = 20 ΩL22 mHi(t)

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 1 ms, en mJ.

Vs = 10 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​6 VR1​ = 47 ΩR2​ = 15 Ωse abre en t = 0L47 mHi(t)

El interruptor en paralelo con R2 lleva mucho tiempo cerrado, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 se abre el interruptor. ¿Cuánto tiempo después de t = 0 alcanza la corriente de la bobina 0,112 A? Halla t.

Vs = 6 VR1 = 47 ΩR2 = 15 ΩL = 47 mH
t = ms
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
+v = 8 × 10⁵ m/sr = ?B = 1 T

Un protón se mueve a 8 × 10⁵ m/s perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 1 T. Halla el radio r de su trayectoria circular.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁵ m/sB = 1 T
r = cm
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Bn = ?8 cm × 20 cmN = 20B = 0,1 T

Una bobina de 20 espiras, de 8 cm × 20 cm, gira en un campo uniforme de 0,1 T alrededor de un eje perpendicular al campo. ¿A qué velocidad n (en revoluciones por minuto) debe girar para dar una fem eficaz de 7,109 V?

N = 20A = 8 cm × 20 cmB = 0,1 TErms = 7,109 V
n = rpm
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
100 V60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 22 µF

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 22 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
12 V100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 47 µFI

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 12 V (eficaces) y 100 Hz. Halla la corriente eficaz I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 1,87 × 10⁶ N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E1 = k·3 × 10⁻⁶/0,25² = 431520 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,25² = 1,438 × 10⁶ N/C

Sentidos y suma

El primer campo apunta alejándose de la carga positiva y el segundo hacia la carga negativa: ambos apuntan en el mismo sentido.

E = |431520 + 1,438 × 10⁶| = 1,87 × 10⁶ N/C

Respuesta

E = 1,87 × 10⁶ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: q = 633,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Fuerza eléctrica a partir del equilibrio

La parte horizontal de la tensión equilibra F y su parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 15° = 0,02103 N

Separación

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 15° = 0,4141 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,4141·√(0,02103/8,99 × 10⁹) = 6,333 × 10⁻⁷ C = 633,3 nC

Respuesta

q = 633,3 nC
3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR1 = 4,951 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​5 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 8 + 5 = 13 Ω
R2 ∥ 13 = 4·13/(4+13) = 3,059 Ω
Req = R1 + 3,059 = 3 + 3,059 = 6,059 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 30/6,059 = 4,951 A

Respuesta

IR1 = 4,951 A
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR2 = 0,04579 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 30 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​15 ΩAR4​6 ΩBR6​3 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 4 + 3 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 3,231 Ω
R3 + 3,231 = 5,231 Ω
R2 ∥ 5,231 = 3,878 Ω
Req = R1 + 3,878 = 30 + 3,878 = 33,88 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 6/33,88 = 0,1771 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,1771·30 = 0,6869 V
IR2 = VA/R2 = 0,6869/15 = 0,04579 A

Respuesta

IR2 = 0,04579 A
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: W = 0,9805 mJ

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms
i(∞) = Vs/R = 10/20 = 0,5 A

Corriente en el instante dado

i(t) = 0,5·(1 − e−1/1,1) = 0,2986 A

Energía almacenada

W = ½·L·i² = ½·22·0,2986² = 0,9805 mJ

Respuesta

W = 0,9805 mJ
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 0,5362 ms

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

Antes de t = 0 el interruptor cerrado puentea R₂; después R₁ y R₂ están ambas en el lazo.

i(0) = 6/47 = 0,1277 A
i(∞) = 6/(47 + 15) = 0,09677 A
τ = L/R = 47/62 = 0,7581 ms
i(t) = 0,09677 + (0,1277 − 0,09677)·e−t/τ

Despeja el tiempo

e−t/τ = (0,112 − 0,09677)/(0,1277 − 0,09677) = 0,493
t = 0,7581·ln(2,028) = 0,5362 ms

Respuesta

t = 0,5362 ms
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: r = 0,8355 cm

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio de fuerzas

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, así que curva la trayectoria hasta convertirla en una circunferencia.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·8 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·1) = 0,008355 m = 0,8355 cm

Respuesta

r = 0,8355 cm
8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: n = 3000 rpm

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·Erms = 10,05 V

Velocidad angular

ω = E₀/(NBA) = 10,05/(20·0,1·0,016) = 314,2 rad/s

Revoluciones por minuto

n = 60·314,2/(2π) = 3000 rpm

Respuesta

n = 3000 rpm
9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −79,74 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120,6 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−82,87)²) = 84,22 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−82,87/15) = −79,74°

Respuesta

φ = −79,74°
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: I = 0,1198 A

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (91,8)²) = 100,1 Ω

Corriente

La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.

I = V/|Z| = 12/100,1 = 0,1198 A

Respuesta

I = 0,1198 A

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