Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++4 µC++8 µCE = 040 cm

Dos cargas de +4 µC y +8 µC están a 40 cm de distancia. ¿A qué distancia x de la carga de +4 µC, sobre la recta que las une, es nulo el campo eléctrico?

q1 = +4 µCq2 = +8 µCd = 40 cm
x = cm
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
L = 60 cm8°qq

Dos bolitas idénticas, cada una de 10 g de masa, cuelgan del mismo punto mediante hilos aislantes de 60 cm de longitud. Se les dan cargas iguales y cada hilo queda a 8° de la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la carga q de cada bolita en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 60 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩIR2​AR4​6 ΩB

Halla la corriente IR2 por R2.

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 6 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​5 ΩBR6​6 Ω

Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.

V1 = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
+−Vs​9 Vt = 0R = 20 ΩL22 mHi(t)

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la corriente i en t = 1 ms.

Vs = 9 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​9 Vt = 0R = 4,7 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 4 V con la polaridad indicada. ¿Cuánto tarda vC en llegar a 7,5 V? Halla t.

Vs = 9 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
+v = 2,5 × 10⁶ m/sB = 0,4 T

Un protón describe una circunferencia en un campo magnético uniforme de 0,4 T. Halla el tiempo T que tarda en dar una vuelta.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,4 T
T = ns
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
L1​ = 10 mH50 A/sL2​ = 5 mHk = 0,5ε = ?

Dos bobinas con autoinducciones de 10 mH y 5 mH tienen un coeficiente de acoplamiento de 0,5. La corriente de la primera bobina varía a 50 A/s. Halla la fem ε inducida en la segunda bobina.

L1 = 10 mHL2 = 5 mHk = 0,5di/dt = 50 A/s
ε = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
120 V100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 120 V (eficaces) y 100 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
φ = °
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
10 V200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF+−VC​

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 10 V (eficaces) y 200 Hz. Halla la tensión eficaz VC en el condensador.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
VC = V

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: x = 16,57 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguales

4/x² = 8/(40 − x)²
(40 − x)/x = √(8/4) = 1,414

Posición

x = 40/(1 + 1,414) = 16,57 cm

Respuesta

x = 16,57 cm

El punto de campo nulo siempre está más cerca de la carga menor.

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: q = 206,8 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Fuerza eléctrica a partir del equilibrio

La parte horizontal de la tensión equilibra F y su parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N

Separación

r = 2·L·sin θ = 2·0,6·sin 8° = 0,167 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,167·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 2,068 × 10⁻⁷ C = 206,8 nC

Respuesta

q = 206,8 nC
3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR2 = 1,125 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 6 + 6 = 12 Ω
R2 ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω
Req = R1 + 3,529 = 4 + 3,529 = 7,529 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 12/7,529 = 1,594 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 1,594·4 = 5,625 V
IR2 = VA/R2 = 5,625/5 = 1,125 A

Respuesta

IR2 = 1,125 A
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR1 = 0,2145 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​5 ΩBR6​6 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 20 + 6 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 4,194 Ω
R3 + 4,194 = 19,19 Ω
R2 ∥ 19,19 = 3,31 Ω
Req = R1 + 3,31 = 20 + 3,31 = 23,31 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 5/23,31 = 0,2145 A

Respuesta

IR1 = 0,2145 A
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: i = 0,2687 A

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms
i(∞) = Vs/R = 9/20 = 0,45 A

Corriente en el instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,45·(1 − e−1/1,1) = 0,2687 A

Respuesta

i = 0,2687 A
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 266 ms

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 47 µF = 220,9 ms
vC(t) = 9 + (4 − 9)·e−t/τ

Despeja el tiempo

7,5 = 9 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (7,5 − 9)/(4 − 9) = 0,3
t = τ·ln((4 − 9)/(7,5 − 9)) = 220,9·ln(3,333) = 266 ms

Respuesta

t = 266 ms
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: T = 164 ns

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periodo del movimiento circular

Una partícula más rápida describe una circunferencia mayor, así que el tiempo por vuelta sigue siendo el mismo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 164 ns

Respuesta

T = 164 ns

No se necesita la velocidad: por eso un ciclotrón puede usar una frecuencia fija.

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 0,1768 V

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Inductancia mutua

M = 0,5·√(10·5) = 3,536 mH

Fem inducida

ε = M·di/dt = 0,003536·50 = 0,1768 V

Respuesta

ε = 0,1768 V
9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −86,17 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−597,8)²) = 599,1 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−597,8/40) = −86,17°

Respuesta

φ = −86,17°
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: VC = 11,94 V

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−298,9)²) = 303 Ω

Corriente

La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.

I = V/|Z| = 10/303 = 0,033 A

Tensión en el condensador

VC = I·XC = 0,033·361,7 = 11,94 V

Respuesta

VC = 11,94 V

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