Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de una carga puntual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga: F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistencias en paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dos en paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ley de Ohm: V = I·R
Potencia: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo: τ = RC | τ = L/R
Respuesta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensador en continua: circuito abierto; v_C no puede saltar
Bobina en continua: cortocircuito; i_L no puede saltar
Régimen permanente: t ≈ 5τ

Método

Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de una bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide largo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo: F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga: F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flujo: Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento: ε = BLv
Generador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductancia: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selector de velocidades y espectrómetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frecuencia angular: ω = 2πf
Módulo y ángulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores: V = I·Z

Método

Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
Halla cada reactancia: X_L = ωL y X_C = 1/(ωC).
Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia

Dos cargas de +4 µC y +2 µC están a 50 cm de distancia. ¿A qué distancia x de la carga de +4 µC, sobre la recta que las une, es nulo el campo eléctrico?

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCd = 50 cm

x = cm

2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil

Dos cargas de +8 µC y +8 µC están a 20 cm de distancia. El punto P está a 8 cm del punto medio entre ellas, sobre la mediatriz. Halla el módulo del campo eléctrico E en P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 20 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistencias en serie y en paraleloMedia

Halla la corriente I_R1 que entrega la fuente, que pasa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil

Halla la resistencia equivalente R_eq que ve la fuente V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Transitorios RC y RLMedia

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión v_L en la bobina en t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitorios RC y RLDifícil

El interruptor en paralelo con R₂ lleva mucho tiempo abierto, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 el interruptor se cierra y cortocircuita R₂. Halla la corriente de la bobina i en t = 1 ms.

V_s = 9 VR₁ = 22 ΩR₂ = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Campos magnéticos e inducciónMedia

Una partícula alfa se mueve a 2,5 × 10⁶ m/s perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,2 T. Halla el radio r de su trayectoria circular.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2,5 × 10⁶ m/sB = 0,2 T

r = cm

8.Campos magnéticos e inducciónDifícil

Una bobina de 250 espiras, de 5 cm × 20 cm, gira a 3600 rpm en un campo uniforme de 0,4 T alrededor de un eje perpendicular al campo. Halla la fem de pico E₀.

N = 250A = 5 cm × 20 cmB = 0,4 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.Impedancia y fasores en alternaMedia

Una resistencia y un condensador están conectados en paralelo a una alimentación de 50 V (eficaces) y 100 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Impedancia y fasores en alternaDifícil

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 60 Hz. Halla la corriente eficaz I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: x = 29,29 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguales

4/x² = 2/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(2/4) = 0,7071

Posición

x = 50/(1 + 0,7071) = 29,29 cm

Respuesta

x = 29,29 cm

El punto de campo nulo siempre está más cerca de la carga menor.

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 5,479 × 10⁶ N/C

Distancia y campo de una carga

r = √(10² + 8²) = 12,81 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1281² = 4,385 × 10⁶ N/C

Componentes

Las componentes a lo largo de la recta que une las cargas se anulan.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·4,385 × 10⁶·0,6247 = 5,479 × 10⁶ N/C

Respuesta

E = 5,479 × 10⁶ N/C

El campo apunta a lo largo de la mediatriz, alejándose de las cargas.

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R1 = 0,4696 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω

R_eq = R₁ + 4,167 = 15 + 4,167 = 19,17 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/19,17 = 0,4696 A

Respuesta

I_R1 = 0,4696 A

4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: R_eq = 11,63 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 2 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 3,529 Ω

R₃ + 3,529 = 15,53 Ω

R₂ ∥ 15,53 = 7,63 Ω

R_eq = R₁ + 7,63 = 4 + 7,63 = 11,63 Ω

Respuesta

R_eq = 11,63 Ω

5.Transitorios RC y RL

Respuesta: v_L = 0,01002 V

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms

i(∞) = V_s/R = 9/68 = 0,1324 A

Tensión en la bobina

En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/0,1471 = 0,01002 V

Respuesta

v_L = 0,01002 V

6.Transitorios RC y RL

Respuesta: i = 0,3188 A

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

Antes de t = 0 ambas resistencias están en el lazo; después el interruptor cerrado puentea R₂.

i(0) = 9/(22 + 33) = 0,1636 A

i(∞) = 9/22 = 0,4091 A

τ = L/R = 22/22 = 1 ms

i(t) = 0,4091 + (0,1636 − 0,4091)·e^−t/τ

Corriente en el instante dado

i(1) = 0,4091 + (−0,2455)·e^−1/1 = 0,3188 A

Respuesta

i = 0,3188 A

7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: r = 25,92 cm

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio de fuerzas

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, así que curva la trayectoria hasta convertirla en una circunferencia.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·2,5 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2) = 0,2592 m = 25,92 cm

Respuesta

r = 25,92 cm

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: E₀ = 377 V

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocidad angular y área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,01 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 250·0,4·0,01·377 = 377 V

Respuesta

E₀ = 377 V

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −72,34 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancia

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Corrientes de rama

Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.

I_R = V/R = 50/50 = 1 A

I_X = V/X_C = 50/15,92 = 3,142 A

Corriente total

La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 3,142²) = 3,297 A

Ángulo de fase

La corriente del condensador va adelantada respecto a V, así que la corriente total va adelantada y el ángulo es negativo.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(3,142/1) = −72,34°

Respuesta

φ = −72,34°

10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: I = 0,4854 A

Reactancias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−189,9)²) = 206 Ω

Corriente

La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.

I = V/|Z| = 100/206 = 0,4854 A

Respuesta

I = 0,4854 A

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