Ley de Coulomb y campo eléctrico
- Ley de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de una carga puntual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Fuerza sobre una carga
- F = q·E
Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
- Resistencias en serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistencias en paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dos en paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ley de Ohm
- V = I·R
- Potencia
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
- Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
- Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Transitorios RC y RL
- Constante de tiempo
- τ = RC | τ = L/R
- Respuesta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensador en continua
- circuito abierto; vC no puede saltar
- Bobina en continua
- cortocircuito; iL no puede saltar
- Régimen permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
- Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
- Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e inducción
- Hilo recto y largo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de una bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide largo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Fuerza sobre un hilo
- F = BIL·sin θ
- Fuerza sobre una carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimiento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Hilos paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flujo
- Φ = BA·cos θ
- Ley de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Varilla en movimiento
- ε = BLv
- Generador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductancia
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductancia mutua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selector de velocidades y espectrómetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
- Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
- Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
- Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.
Impedancia y fasores en alterna
- Impedancias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frecuencia angular
- ω = 2πf
- Módulo y ángulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ley de Ohm con fasores
- V = I·Z
Método
- Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
- Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
- Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
- Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.
2Problemas de práctica
1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
Una carga de +5 µC y una carga de −10 µC están separadas 60 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 24 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.
q1 = +5 µCq2 = −10 µCr1 = 24 cmr2 = 36 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 10 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 4 µC está a 8 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 6 µC está a 5 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.
q1 = 4 µCq2 = 6 µCq3 = 10 µCr13 = 8 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 8 Ω
IR1 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR2 por R2.
V1 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 5 ΩR5 = 25 ΩR6 = 8 Ω
IR2 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
La fuente Vₛ carga el condensador a través de R₁, y R₂ está conectada en paralelo con C. El condensador está descargado cuando el interruptor se cierra en t = 0. Halla la tensión del condensador vC en t = 50 ms.
Vs = 12 VR1 = 1 kΩR2 = 6,8 kΩC = 220 µFt = 50 ms
vC = V
6.Transitorios RC y RLDifícil
Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 12 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador vC en t = 200 ms.
Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 47 µFvC(0) = 12 Vt = 200 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
Una bobina de 250 espiras tiene un área de 20 cm². La bobina se da la vuelta (se gira 180°) en un campo uniforme de 0,3 T, perpendicular a su plano, en 10 ms. Halla la fem inducida media ε.
N = 250A = 20 cm²B = 0,3 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Una bobina de 100 espiras, de 8 cm × 10 cm, gira en un campo uniforme de 0,4 T alrededor de un eje perpendicular al campo. ¿A qué velocidad n (en revoluciones por minuto) debe girar para dar una fem eficaz de 21,33 V?
N = 100A = 8 cm × 10 cmB = 0,4 TErms = 21,33 V
n = rpm
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie con L = 1 mH debe resonar a 60 Hz. Halla la capacidad C necesaria.
f0 = 60 HzL = 1 mH
C = µF
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 100 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la frecuencia de resonancia f0 del circuito.
V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF
f0 = Hz
3Disoluciones
1.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: E = 1,474 × 10⁶ N/C
Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.
Campo de cada carga
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0,36² = 693673 N/C
Sentidos y suma
El primer campo apunta alejándose de la carga positiva y el segundo hacia la carga negativa: ambos apuntan en el mismo sentido.
E = |780382 + 693673| = 1,474 × 10⁶ N/C
Respuesta
E = 1,474 × 10⁶ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: F = 223 N
Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.
Cada fuerza sobre q₃
F1 = k·4·10 × 10⁻¹²/0,08² = 56,19 N
F2 = k·6·10 × 10⁻¹²/0,05² = 215,8 N
Suma vectorial
F = √(56,19² + 215,8²) = 223 N
Respuesta
F = 223 N
3.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 1,913 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 15 + 8 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3,407 Ω
Req = R1 + 3,407 = 6 + 3,407 = 9,407 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 18/9,407 = 1,913 A
Respuesta
IR1 = 1,913 A
4.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR2 = 0,3092 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 25 + 8 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 4,342 Ω
R3 + 4,342 = 24,34 Ω
R2 ∥ 24,34 = 4,148 Ω
Req = R1 + 4,148 = 20 + 4,148 = 24,15 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 9/24,15 = 0,3727 A
Corriente por R₂
Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0,3727·20 = 1,546 V
IR2 = VA/R2 = 1,546/5 = 0,3092 A
Respuesta
IR2 = 0,3092 A
5.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 2,401 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Equivalente de Thévenin visto por el condensador
Cortocircuita la fuente para hallar Rth; deja abierto el condensador para hallar la tensión a la que se estabilizará.
Rth = R1 ∥ R2 = 1·6,8/(1 + 6,8) = 0,8718 kΩ
vC(∞) = 12·6,8/(1 + 6,8) = 10,46 V
Constante de tiempo
τ = Rth·C = 0,8718·220 = 191,8 ms
Curva de carga
vC(t) = 10,46·(1 − e−50/191,8) = 2,401 V
Respuesta
vC = 2,401 V
6.Transitorios RC y RL
Respuesta: vC = 14,57 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.
vC(0) = 12 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms
vC(t) = 15 + (12 − 15)·e−t/τ
Tensión en el instante dado
vC(200) = 15 + (−3)·e−200/103,4 = 14,57 V
Respuesta
vC = 14,57 V
7.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: ε = 30 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variación del flujo por espira
ΔΦ = 2·0,3·0,002 = 0,0012 Wb
Fem media
ε = NΔΦ/Δt = 250·0,0012/0,01 = 30 V
Respuesta
ε = 30 V
8.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: n = 900,2 rpm
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Fem de pico
E₀ = √2·Erms = 30,17 V
Velocidad angular
ω = E₀/(NBA) = 30,17/(100·0,4·0,008) = 94,27 rad/s
Revoluciones por minuto
n = 60·94,27/(2π) = 900,2 rpm
Respuesta
n = 900,2 rpm
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: C = 7036 µF
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Condición de resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,001) = 7036 µF
Respuesta
C = 7036 µF
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: f0 = 159,2 Hz
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Resonancia
En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC). La frecuencia de la alimentación no influye.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz
Respuesta
f0 = 159,2 Hz
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