Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++2 µC−−2 µCP60 cm

Una carga de +2 µC y una carga de −2 µC están separadas 60 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 30 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q1 = +2 µCq2 = −2 µCr1 = 30 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
5 cm10 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +5 µC

Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 5 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 1 µC está a 5 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 5 µC está a 10 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.

q1 = 1 µCq2 = 5 µCq3 = 5 µCr13 = 5 cmr23 = 10 cm
F = N
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩIR2​AR4​20 ΩB

Halla la corriente IR2 por R2.

V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 ΩR4 = 25 ΩR5 = 8 ΩR6 = 12 Ω
Req = Ω
5.Transitorios RC y RLMedia
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL22 mHi(t)

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 5 ms, en mJ.

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
W = mJ
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​12 VR1​ = 22 ΩR2​ = 33 Ωse cierra en t = 0L22 mHi(t)

El interruptor en paralelo con R2 lleva mucho tiempo abierto, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 el interruptor se cierra y cortocircuita R2. Halla la corriente de la bobina i en t = 1 ms.

Vs = 12 VR1 = 22 ΩR2 = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
nBA = 10 cm², N = 10B = 0,5 T

Una bobina de 10 espiras tiene un área de 10 cm². La bobina se da la vuelta (se gira 180°) en un campo uniforme de 0,5 T, perpendicular a su plano, en 10 ms. Halla la fem inducida media ε.

N = 10A = 10 cm²B = 0,5 TΔt = 10 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
E = 5 × 10⁴ V/m, B1​ = 0,2 T

En un selector de velocidades, unos campos cruzados E = 5 × 10⁴ V/m y B = 0,2 T dejan pasar en línea recta solo los iones de una velocidad. Halla esa velocidad v.

E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0,2 T
v = m/s
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Vf0​ = 60 HzRL = ?C = 0,1 µF

Un circuito RLC en serie con C = 0,1 µF debe resonar a 60 Hz. Halla la inductancia L necesaria.

f0 = 60 HzC = 0,1 µF
L = mH
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
12 Vf0​R = 5 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 12 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz VL en la bobina.

V = 12 V (rms)R = 5 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
VL = V

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 399556 N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,3² = 199778 N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0,3² = 199778 N/C

Sentidos y suma

El primer campo apunta alejándose de la carga positiva y el segundo hacia la carga negativa: ambos apuntan en el mismo sentido.

E = |199778 + 199778| = 399556 N/C

Respuesta

E = 399556 N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 28,78 N

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Cada fuerza sobre q₃

F1 = k·1·5 × 10⁻¹²/0,05² = 17,98 N
F2 = k·5·5 × 10⁻¹²/0,1² = 22,47 N

Suma vectorial

F = √(17,98² + 22,47²) = 28,78 N

Respuesta

F = 28,78 N
3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR2 = 1,066 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​20 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 8 + 20 = 28 Ω
R2 ∥ 28 = 3·28/(3+28) = 2,71 Ω
Req = R1 + 2,71 = 10 + 2,71 = 12,71 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 15/12,71 = 1,18 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1,18·10 = 3,198 V
IR2 = VA/R2 = 3,198/3 = 1,066 A

Respuesta

IR2 = 1,066 A
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 12,77 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​12 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 8 + 12 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 11,11 Ω
R3 + 11,11 = 36,11 Ω
R2 ∥ 36,11 = 2,77 Ω
Req = R1 + 2,77 = 10 + 2,77 = 12,77 Ω

Respuesta

Req = 12,77 Ω
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: W = 19,91 mJ

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1,5 A

Corriente en el instante dado

i(t) = 1,5·(1 − e−5/2,2) = 1,345 A

Energía almacenada

W = ½·L·i² = ½·22·1,345² = 19,91 mJ

Respuesta

W = 19,91 mJ
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: i = 0,4251 A

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

Antes de t = 0 ambas resistencias están en el lazo; después el interruptor cerrado puentea R₂.

i(0) = 12/(22 + 33) = 0,2182 A
i(∞) = 12/22 = 0,5455 A
τ = L/R = 22/22 = 1 ms
i(t) = 0,5455 + (0,2182 − 0,5455)·e−t/τ

Corriente en el instante dado

i(1) = 0,5455 + (−0,3273)·e−1/1 = 0,4251 A

Respuesta

i = 0,4251 A
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 1 V

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variación del flujo por espira

ΔΦ = 2·0,5·0,001 = 0,001 Wb

Fem media

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,001/0,01 = 1 V

Respuesta

ε = 1 V
8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: v = 250000 m/s

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidad seleccionada

Sin desviarse: la fuerza eléctrica qE equilibra la fuerza magnética qvB.

v = E/B1 = 5 × 10⁴/0,2 = 250000 m/s

Respuesta

v = 250000 m/s
9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: L = 70362 mH

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Condición de resonancia

En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(377²·0,1·10⁻⁶) = 70362 mH

Respuesta

L = 70362 mH
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: VL = 511,7 V

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Resonancia

En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·2,2·10⁻⁶) = 2132 rad/s
I = V/R = 12/5 = 2,4 A

Tensión en la bobina

XL = ω₀L = 2132·0,1 = 213,2 Ω
VL = I·XL = 2,4·213,2 = 511,7 V

Respuesta

VL = 511,7 V

Esto es Q = 42,64 veces la tensión de alimentación.

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