Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de una carga puntual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga
F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
  2. Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
  4. Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
  2. Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
  3. Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo
B = μ0I/(2πr)
Centro de una bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide largo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo
F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga
F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flujo
Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento
ε = BLv
Generador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Inductancia
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selector de velocidades y espectrómetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
  2. Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
  3. Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
  4. Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frecuencia angular
ω = 2πf
Módulo y ángulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores
V = I·Z

Método

  1. Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
  2. Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
  3. Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
  4. Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
++10 µC++8 µCP40 cm

Una carga de +10 µC y una carga de +8 µC están separadas 40 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 30 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q1 = +10 µCq2 = +8 µCr1 = 30 cmr2 = 10 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
+−P2 × 3 cm12 cm+6 µC−6 µC

Dos cargas de +6 µC y −6 µC están a 6 cm de distancia. El punto P está a 12 cm del punto medio entre ellas, sobre la mediatriz. Halla el módulo del campo eléctrico E en P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 6 cmh = 12 cm
E = N/C
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

Halla la resistencia equivalente Req que ve la fuente V1.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 Ω
Req = Ω
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.

V1 = 30 VR1 = 20 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 25 ΩR5 = 12 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
+−Vs​10 Vt = 0R = 47 ΩL10 mHi(t)

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 1 ms, en mJ.

Vs = 10 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Transitorios RC y RLDifícil
+−Vs​5 Vt = 0R = 3,3 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 4 V con la polaridad indicada. ¿Cuánto tarda vC en llegar a 4,4 V? Halla t.

Vs = 5 VR = 3,3 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
−v = 2 × 10⁶ m/sB = 2,5 mT

Un electrón describe una circunferencia en un campo magnético uniforme de 2,5 mT. Halla el tiempo T que tarda en dar una vuelta.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 2,5 mT
T = ns
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
Bn = 300 rpm10 cm × 10 cmN = 100B = 0,1 T

Una bobina de 100 espiras, de 10 cm × 10 cm, gira a 300 rpm en un campo uniforme de 0,1 T alrededor de un eje perpendicular al campo. Halla el valor eficaz Erms de la fem.

N = 100A = 10 cm × 10 cmB = 0,1 Tn = 300 rpm
Erms = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Vf0​ = 100 HzRL = 10 mHC = ?

Un circuito RLC en serie con L = 10 mH debe resonar a 100 Hz. Halla la capacidad C necesaria.

f0 = 100 HzL = 10 mH
C = µF
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
120 V1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4,7 µFI

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 120 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la corriente eficaz I.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF
I = A

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 6,193 × 10⁶ N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,3² = 998889 N/C
E2 = k·8 × 10⁻⁶/0,1² = 7,192 × 10⁶ N/C

Sentidos y suma

Las dos cargas son positivas: en P cada campo apunta alejándose de su carga, es decir, en sentidos opuestos.

E = |998889 − 7,192 × 10⁶| = 6,193 × 10⁶ N/C

Respuesta

E = 6,193 × 10⁶ N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 1,71 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distancia y campo de una carga

r = √(3² + 12²) = 12,37 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,1237² = 3,525 × 10⁶ N/C

Componentes

Las componentes a lo largo de la mediatriz se anulan.

E = 2·E1·(a/r) = 2·3,525 × 10⁶·0,2425 = 1,71 × 10⁶ N/C

Respuesta

E = 1,71 × 10⁶ N/C

El campo apunta paralelo a la recta, desde la carga positiva hacia la negativa.

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: Req = 6,8 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩB

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R3 + R4 = 12 + 12 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 6·24/(6+24) = 4,8 Ω
Req = R1 + 4,8 = 2 + 4,8 = 6,8 Ω

Respuesta

Req = 6,8 Ω
4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: IR1 = 1,179 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​8 ΩAR4​25 ΩBR6​20 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R5 + R6 = 12 + 20 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 14,04 Ω
R3 + 14,04 = 17,04 Ω
R2 ∥ 17,04 = 5,444 Ω
Req = R1 + 5,444 = 20 + 5,444 = 25,44 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

IR1 = V1/Req = 30/25,44 = 1,179 A

Respuesta

IR1 = 1,179 A
5.Transitorios RC y RL

Respuesta: W = 0,2222 mJ

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0,2128 A

Corriente en el instante dado

i(t) = 0,2128·(1 − e−1/0,2128) = 0,2108 A

Energía almacenada

W = ½·L·i² = ½·10·0,2108² = 0,2222 mJ

Respuesta

W = 0,2222 mJ
6.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 168,6 ms

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 100 µF = 330 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Despeja el tiempo

4,4 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,4 − 5)/(4 − 5) = 0,6
t = τ·ln((4 − 5)/(4,4 − 5)) = 330·ln(1,667) = 168,6 ms

Respuesta

t = 168,6 ms
7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: T = 14,29 ns

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Periodo del movimiento circular

Una partícula más rápida describe una circunferencia mayor, así que el tiempo por vuelta sigue siendo el mismo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,0025) = 14,29 ns

Respuesta

T = 14,29 ns

No se necesita la velocidad: por eso un ciclotrón puede usar una frecuencia fija.

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: Erms = 2,221 V

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocidad angular y área

ω = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
A = 0,01 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 100·0,1·0,01·31,42 = 3,142 V

Valor eficaz

Erms = 3,142/√2 = 2,221 V

Respuesta

Erms = 2,221 V
9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: C = 253,3 µF

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Condición de resonancia

En resonancia, las reactancias inductiva y capacitiva se anulan: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,01) = 253,3 µF

Respuesta

C = 253,3 µF
10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: I = 0,4117 A

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (280,3)²) = 291,5 Ω

Corriente

La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.

I = V/|Z| = 120/291,5 = 0,4117 A

Respuesta

I = 0,4117 A

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