Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de una carga puntual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga: F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistencias en paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dos en paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ley de Ohm: V = I·R
Potencia: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo: τ = RC | τ = L/R
Respuesta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensador en continua: circuito abierto; v_C no puede saltar
Bobina en continua: cortocircuito; i_L no puede saltar
Régimen permanente: t ≈ 5τ

Método

Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de una bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide largo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo: F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga: F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flujo: Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento: ε = BLv
Generador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductancia: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selector de velocidades y espectrómetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frecuencia angular: ω = 2πf
Módulo y ángulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores: V = I·Z

Método

Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
Halla cada reactancia: X_L = ωL y X_C = 1/(ωC).
Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia

Una carga de +6 µC y una carga de +1 µC están separadas 30 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 12 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.

q₁ = +6 µCq₂ = +1 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil

Tres cargas puntuales positivas están en los vértices de un triángulo rectángulo: q₃ = 10 µC está en el vértice del ángulo recto, q₁ = 6 µC está a 6 cm de ella a lo largo de un cateto y q₂ = 5 µC está a 5 cm de ella a lo largo del otro cateto. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistencias en serie y en paraleloMedia

Halla la resistencia equivalente R_eq que ve la fuente V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil

Halla la resistencia equivalente R_eq que ve la fuente V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitorios RC y RLMedia

La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. ¿Cuánto tiempo después de cerrar el interruptor alcanza la corriente el 75 % de su valor final? Halla t.

V_s = 9 VR = 33 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Transitorios RC y RLDifícil

El interruptor en paralelo con R₂ lleva mucho tiempo abierto, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 el interruptor se cierra y cortocircuita R₂. ¿Cuánto tiempo después de t = 0 alcanza la corriente de la bobina 0,515 A? Halla t.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e inducciónMedia

Una bobina de 100 espiras tiene un área de 10 cm². La bobina se da la vuelta (se gira 180°) en un campo uniforme de 0,4 T, perpendicular a su plano, en 10 ms. Halla la fem inducida media ε.

N = 100A = 10 cm²B = 0,4 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e inducciónDifícil

La corriente en una bobina de 10 mH varía de forma constante de 1 A a 2 A en 20 ms. Halla el módulo de la fem autoinducida ε.

L = 10 mH1 A → 2 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedancia y fasores en alternaMedia

Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 24 V (eficaces) y 200 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedancia y fasores en alternaDifícil

Un circuito RLC en serie se alimenta con una fuente de 5 V (eficaces) cuya frecuencia se ajusta a la frecuencia de resonancia del circuito. Halla la tensión eficaz V_L en la bobina.

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 10 mHC = 1 µF

V_L = V

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: E = 3,468 × 10⁶ N/C

Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,12² = 3,746 × 10⁶ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,18² = 277469 N/C

Sentidos y suma

Las dos cargas son positivas: en P cada campo apunta alejándose de su carga, es decir, en sentidos opuestos.

E = |3,746 × 10⁶ − 277469| = 3,468 × 10⁶ N/C

Respuesta

E = 3,468 × 10⁶ N/C

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 234 N

Cada fuerza sobre q₃

F₁ = k·6·10 × 10⁻¹²/0,06² = 149,8 N

F₂ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,05² = 179,8 N

Suma vectorial

F = √(149,8² + 179,8²) = 234 N

Respuesta

F = 234 N

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: R_eq = 19,14 Ω

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 10·25/(10+25) = 7,143 Ω

R_eq = R₁ + 7,143 = 12 + 7,143 = 19,14 Ω

Respuesta

R_eq = 19,14 Ω

4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: R_eq = 27,16 Ω

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 12,45 Ω

R₃ + 12,45 = 20,45 Ω

R₂ ∥ 20,45 = 12,16 Ω

R_eq = R₁ + 12,16 = 15 + 12,16 = 27,16 Ω

Respuesta

R_eq = 27,16 Ω

5.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 6,301 ms

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Constante de tiempo y corriente final

Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 9/33 = 0,2727 A

Despeja el tiempo

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −4,545·ln(0,25) = 6,301 ms

Respuesta

t = 6,301 ms

6.Transitorios RC y RL

Respuesta: t = 2,477 ms

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

Antes de t = 0 ambas resistencias están en el lazo; después el interruptor cerrado puentea R₂.

i(0) = 20/(33 + 33) = 0,303 A

i(∞) = 20/33 = 0,6061 A

τ = L/R = 68/33 = 2,061 ms

i(t) = 0,6061 + (0,303 − 0,6061)·e^−t/τ

Despeja el tiempo

e^−t/τ = (0,515 − 0,6061)/(0,303 − 0,6061) = 0,3005

t = 2,061·ln(3,328) = 2,477 ms

Respuesta

t = 2,477 ms

7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 8 V

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variación del flujo por espira

ΔΦ = 2·0,4·0,001 = 0,0008 Wb

Fem media

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0008/0,01 = 8 V

Respuesta

ε = 8 V

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 0,5 V

Fem autoinducida

La fem se opone a la variación de la corriente (Lenz), así que su signo es opuesto al de ΔI; su módulo es L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,01·1/0,02 = 0,5 V

Respuesta

ε = 0,5 V

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = 66,9 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedancia

En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (234,4)²) = 254,8 Ω

Ángulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(234,4/100) = 66,9°

Respuesta

φ = 66,9°

10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: V_L = 10 V

Resonancia

En resonancia las reactancias se anulan, así que la impedancia es simplemente R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 5/50 = 0,1 A

Tensión en la bobina

X_L = ω₀L = 10000·0,01 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·100 = 10 V

Respuesta

V_L = 10 V

Esto es Q = 2 veces la tensión de alimentación.

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