Ley de Coulomb y campo eléctrico
- Ley de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de una carga puntual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Fuerza sobre una carga
- F = q·E
Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
- Resistencias en serie
- Req = R1 + R2 + …
- Resistencias en paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dos en paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Ley de Ohm
- V = I·R
- Potencia
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
- Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
- Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Transitorios RC y RL
- Constante de tiempo
- τ = RC | τ = L/R
- Respuesta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Condensador en continua
- circuito abierto; vC no puede saltar
- Bobina en continua
- cortocircuito; iL no puede saltar
- Régimen permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
- Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
- Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
- Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e inducción
- Hilo recto y largo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de una bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide largo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Fuerza sobre un hilo
- F = BIL·sin θ
- Fuerza sobre una carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimiento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Hilos paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Flujo
- Φ = BA·cos θ
- Ley de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Varilla en movimiento
- ε = BLv
- Generador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Inductancia
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Inductancia mutua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Selector de velocidades y espectrómetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
- Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
- Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
- Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.
Impedancia y fasores en alterna
- Impedancias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frecuencia angular
- ω = 2πf
- Módulo y ángulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Ley de Ohm con fasores
- V = I·Z
Método
- Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
- Halla cada reactancia: XL = ωL y XC = 1/(ωC).
- Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
- Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.
2Problemas de práctica
1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia
Una carga de +2 µC y una carga de +6 µC están separadas 40 cm. El punto P está en la recta que las une, entre ambas, a 20 cm de la primera carga. Halla el módulo del campo eléctrico E en P.
q1 = +2 µCq2 = +6 µCr1 = 20 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil
Dos bolitas idénticas, cada una de 5 g de masa, cuelgan del mismo punto mediante hilos aislantes de 100 cm de longitud. Se les dan cargas iguales y cada hilo queda a 12° de la vertical. Usa g = 9,81 m/s². Halla la carga q de cada bolita en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 5 gL = 100 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 2 ΩR5 = 5 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.Transitorios RC y RLMedia
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la energía W almacenada en la bobina en t = 1 ms, en mJ.
Vs = 6 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms
W = mJ
6.Transitorios RC y RLDifícil
El interruptor en paralelo con R2 lleva mucho tiempo abierto, así que la corriente de la bobina es estacionaria. En t = 0 el interruptor se cierra y cortocircuita R2. Halla la corriente de la bobina i en t = 10 ms.
Vs = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 33 ΩL = 100 mHt = 10 ms
i = A
7.Campos magnéticos e inducciónMedia
Una bobina de 500 espiras tiene un área de 150 cm². Un campo uniforme perpendicular a la bobina crece de forma constante de 0,2 T a 0,6 T en 250 ms. Halla la fem inducida media ε.
N = 500A = 150 cm²B: 0,2 T → 0,6 TΔt = 250 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e inducciónDifícil
La corriente en una bobina de 5 mH varía de forma constante de 2 A a 5 A en 1 ms. Halla el módulo de la fem autoinducida ε.
L = 5 mH2 A → 5 AΔt = 1 ms
ε = V
9.Impedancia y fasores en alternaMedia
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 120 V (eficaces) y 500 Hz. Halla el factor de potencia cos φ del circuito.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Impedancia y fasores en alternaDifícil
Un circuito RLC en serie está conectado a una alimentación de 230 V (eficaces) y 1000 Hz. Halla la tensión eficaz VC en el condensador.
V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VC = V
3Disoluciones
1.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: E = 899000 N/C
Ley de Coulomb: dos cargas puntuales se atraen o se repelen con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². El campo de una carga puntual es E = k·|q|/r² y apunta alejándose de una carga positiva y hacia una carga negativa. Las fuerzas y los campos de varias cargas se suman como vectores.
Campo de cada carga
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,2² = 1,348 × 10⁶ N/C
Sentidos y suma
Las dos cargas son positivas: en P cada campo apunta alejándose de su carga, es decir, en sentidos opuestos.
E = |449500 − 1,348 × 10⁶| = 899000 N/C
Respuesta
E = 899000 N/C
2.Ley de Coulomb y campo eléctrico
Respuesta: q = 447,8 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Fuerza eléctrica a partir del equilibrio
La parte horizontal de la tensión equilibra F y su parte vertical equilibra m·g.
F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 12° = 0,01043 N
Separación
r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 12° = 0,4158 m
Carga
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,4158·√(0,01043/8,99 × 10⁹) = 4,478 × 10⁻⁷ C = 447,8 nC
Respuesta
q = 447,8 nC
3.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,7232 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 3 + 5 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
Req = R1 + 4,444 = 8 + 4,444 = 12,44 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 9/12,44 = 0,7232 A
Respuesta
IR1 = 0,7232 A
4.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,5876 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 5 + 30 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 1,892 Ω
R3 + 1,892 = 9,892 Ω
R2 ∥ 9,892 = 5,422 Ω
Req = R1 + 5,422 = 15 + 5,422 = 20,42 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 12/20,42 = 0,5876 A
Respuesta
IR1 = 0,5876 A
5.Transitorios RC y RL
Respuesta: W = 0,07103 mJ
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A
Corriente en el instante dado
i(t) = 0,12·(1 − e−1/0,2) = 0,1192 A
Energía almacenada
W = ½·L·i² = ½·10·0,1192² = 0,07103 mJ
Respuesta
W = 0,07103 mJ
6.Transitorios RC y RL
Respuesta: i = 0,4306 A
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Valor inicial, valor final, constante de tiempo
Antes de t = 0 ambas resistencias están en el lazo; después el interruptor cerrado puentea R₂.
i(0) = 6/(10 + 33) = 0,1395 A
i(∞) = 6/10 = 0,6 A
τ = L/R = 100/10 = 10 ms
i(t) = 0,6 + (0,1395 − 0,6)·e−t/τ
Corriente en el instante dado
i(10) = 0,6 + (−0,4605)·e−10/10 = 0,4306 A
Respuesta
i = 0,4306 A
7.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: ε = 12 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Variación del flujo por espira
ΔΦ = (0,6 − 0,2)·0,015 = 0,006 Wb
Fem media
ε = NΔΦ/Δt = 500·0,006/0,25 = 12 V
Respuesta
ε = 12 V
8.Campos magnéticos e inducción
Respuesta: ε = 15 V
Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).
Fem autoinducida
La fem se opone a la variación de la corriente (Lenz), así que su signo es opuesto al de ΔI; su módulo es L·|ΔI|/Δt.
ε = L·ΔI/Δt = 0,005·3/0,001 = 15 V
Respuesta
ε = 15 V
9.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: cos φ = 0,3339
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
XL = 314,2 Ω, XC = 31,83 Ω
Impedancia
|Z| = √(100² + (282,3)²) = 299,5 Ω
Factor de potencia
cos φ = R/|Z| = 100/299,5 = 0,3339
El circuito es inductivo, así que el factor de potencia es inductivo (en retraso).
Respuesta
cos φ = 0,3339
10.Impedancia y fasores en alterna
Respuesta: VC = 33,22 V
Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.
Reactancias
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Impedancia
En serie, las impedancias se suman como números complejos: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (1097)²) = 1102 Ω
Corriente
La misma corriente pasa por todos los elementos de un circuito en serie.
I = V/|Z| = 230/1102 = 0,2087 A
Tensión en el condensador
VC = I·XC = 0,2087·159,2 = 33,22 V
Respuesta
VC = 33,22 V
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