Física 2: Electricidad y magnetismo: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 10 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Ley de Coulomb y campo eléctrico

Ley de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de una carga puntual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Fuerza sobre una carga: F = q·E

Resistencias en serie y en paralelo

Resistencias en serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistencias en paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dos en paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ley de Ohm: V = I·R
Potencia: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.

Transitorios RC y RL

Constante de tiempo: τ = RC | τ = L/R
Respuesta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensador en continua: circuito abierto; v_C no puede saltar
Bobina en continua: cortocircuito; i_L no puede saltar
Régimen permanente: t ≈ 5τ

Método

Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e inducción

Hilo recto y largo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de una bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide largo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Fuerza sobre un hilo: F = BIL·sin θ
Fuerza sobre una carga: F = |q|vB·sin θ
Movimiento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Hilos paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flujo: Φ = BA·cos θ
Ley de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Varilla en movimiento: ε = BLv
Generador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductancia: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductancia mutua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selector de velocidades y espectrómetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Convierte todas las magnitudes a unidades del SI: cm a m, cm² a m², mT y µT a T.
Elige la fórmula correcta: B = μ₀I/(2πr) para un hilo, μ₀NI/(2R) para el centro de una bobina, μ₀nI dentro de un solenoide; F = BIL·sin θ o |q|vB·sin θ para las fuerzas.
Para la inducción, halla la variación del flujo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) y usa ε = N·ΔΦ/Δt, o ε = BLv para una varilla en movimiento y NBAω para una bobina giratoria.
Halla los sentidos por separado con las reglas de la mano derecha, y con la ley de Lenz para las corrientes inducidas.

Impedancia y fasores en alterna

Impedancias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frecuencia angular: ω = 2πf
Módulo y ángulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ley de Ohm con fasores: V = I·Z

Método

Convierte la frecuencia: ω = 2πf.
Halla cada reactancia: X_L = ωL y X_C = 1/(ωC).
Suma las impedancias como resistencias, con Z = R + jX.
Halla el módulo |Z| = √(R² + X²) y el ángulo φ = atan(X/R), y luego aplica la ley de Ohm con fasores.

2Problemas de práctica

1.Ley de Coulomb y campo eléctricoMedia

Tres cargas puntuales están sobre una recta: +6 µC a la izquierda, −6 µC a la derecha a 10 cm, y +8 µC entre ellas, a 5 cm de la carga izquierda. Halla el módulo de la fuerza eléctrica neta F sobre la carga central. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = −6 µCq_M = +8 µCr_L = 5 cmr_R = 5 cm

F = N

2.Ley de Coulomb y campo eléctricoDifícil

Un electrón entra en el campo uniforme entre dos placas paralelas moviéndose paralelamente a ellas a 5 × 10⁷ m/s. Las placas miden 10 cm de longitud y el campo entre ellas es de 1000 N/C. Carga del electrón 1,602 × 10⁻¹⁹ C, masa 9,109 × 10⁻³¹ kg; desprecia la gravedad. ¿Cuánto y se desvía lateralmente al salir de las placas? Da el resultado en mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 1000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistencias en serie y en paraleloMedia

Halla la corriente I_R1 que entrega la fuente, que pasa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistencias en serie y en paraleloDifícil

Halla la corriente I_R2 por R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitorios RC y RLMedia

La fuente Vₛ carga el condensador a través de R₁, y R₂ está conectada en paralelo con C. El condensador está descargado cuando el interruptor se cierra en t = 0. Halla la tensión del condensador v_C en t = 500 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 500 ms

v_C = V

6.Transitorios RC y RLDifícil

Justo antes de que el interruptor se cierre en t = 0, el condensador tiene 30 V con la polaridad indicada. Halla la tensión del condensador v_C en t = 120 ms.

V_s = 15 VR = 4,7 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 Vt = 120 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e inducciónMedia

Un protón se mueve a 2 × 10⁵ m/s perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,4 T. Halla el radio r de su trayectoria circular.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁵ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Campos magnéticos e inducciónDifícil

Una bobina corta de 100 espiras está arrollada ajustadamente alrededor del centro de un solenoide largo de 500 espiras, longitud 40 cm y diámetro 2 cm. La corriente del solenoide varía a 100 A/s. Halla la fem ε inducida en la bobina corta.

N₁ = 500N₂ = 100l = 40 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 100 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedancia y fasores en alternaMedia

Una resistencia y un condensador están conectados en paralelo a una alimentación de 120 V (eficaces) y 100 Hz. Halla el ángulo de fase φ de la impedancia, en grados (positivo cuando la corriente va retrasada respecto a la tensión).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Impedancia y fasores en alternaDifícil

Un circuito RLC en serie tiene R = 10 Ω, L = 100 mH y C = 0,1 µF. Halla su ancho de banda B (la anchura de la banda entre las frecuencias de media potencia), en Hz.

R = 10 ΩL = 100 mHC = 0,1 µF

B = Hz

3Disoluciones

1.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: F = 345,2 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Fuerza de cada carga

La derecha es positiva.

F_L = +k·6·8 × 10⁻¹²/0,05² = 172,6 N

F_R = +k·6·8 × 10⁻¹²/0,05² = 172,6 N

Fuerza neta

F = 172,6 + (172,6) = 345,2 N → |F| = 345,2 N

Respuesta

F = 345,2 N

La fuerza neta apunta hacia la derecha.

2.Ley de Coulomb y campo eléctrico

Respuesta: y = 0,3517 mm

Tiempo entre las placas

t = L/v₀ = 0,1/5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Aceleración lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1000/9,109 × 10⁻³¹ = 1,759 × 10¹⁴ m/s²

Flecha

y = ½·a·t² = ½·1,759 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,0003517 m = 0,3517 mm

Respuesta

y = 0,3517 mm

El electrón es empujado hacia la placa positiva, en sentido contrario al campo.

3.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R1 = 1,062 A

Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 3 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 8·13/(8+13) = 4,952 Ω

R_eq = R₁ + 4,952 = 12 + 4,952 = 16,95 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16,95 = 1,062 A

Respuesta

I_R1 = 1,062 A

4.Resistencias en serie y en paralelo

Respuesta: I_R2 = 0,2829 A

Combina las resistencias desde el extremo más lejano

Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 10 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 5,217 Ω

R₃ + 5,217 = 20,22 Ω

R₂ ∥ 20,22 = 4,009 Ω

R_eq = R₁ + 4,009 = 30 + 4,009 = 34,01 Ω

Corriente de la fuente

La fuente solo ve R_eq, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/34,01 = 0,3529 A

Corriente por R₂

Resta la caída en R₁ para obtener la tensión en el nodo A, que es la tensión en R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,3529·30 = 1,414 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,414/5 = 0,2829 A

Respuesta

I_R2 = 0,2829 A

5.Transitorios RC y RL

Respuesta: v_C = 2,087 V

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Equivalente de Thévenin visto por el condensador

Cortocircuita la fuente para hallar R_th; deja abierto el condensador para hallar la tensión a la que se estabilizará.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 12·6,8/(10 + 6,8) = 4,857 V

Constante de tiempo

τ = R_th·C = 4,048·220 = 890,5 ms

Curva de carga

v_C(t) = 4,857·(1 − e^−500/890,5) = 2,087 V

Respuesta

v_C = 2,087 V

6.Transitorios RC y RL

Respuesta: v_C = 16,17 V

Valor inicial, valor final, constante de tiempo

La tensión del condensador no puede saltar, así que parte de su valor almacenado y tiende a la tensión de la fuente.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms

v_C(t) = 15 + (30 − 15)·e^−t/τ

Tensión en el instante dado

v_C(120) = 15 + (15)·e^−120/47 = 16,17 V

Respuesta

v_C = 16,17 V

7.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: r = 0,5222 cm

Fuerzas magnéticas: un hilo recto que lleva una corriente I en un campo B sufre F = BIL·sin θ, y una carga en movimiento F = |q|vB·sin θ, donde θ es el ángulo entre la corriente (o la velocidad) y B. La fuerza es perpendicular a ambos: apunta con los dedos de la mano derecha a lo largo de I o v, gíralos hacia B, y el pulgar da F para una carga positiva; invierte el sentido para una carga negativa. Como F es perpendicular a v, una carga que se mueve a través de un campo uniforme describe una circunferencia: |q|vB = mv²/r da r = mv/(|q|B) y el periodo T = 2πm/(|q|B), que no depende de la velocidad. Dos hilos paralelos se atraen cuando las corrientes tienen el mismo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio de fuerzas

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, así que curva la trayectoria hasta convertirla en una circunferencia.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Radio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·2 × 10⁵/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,005222 m = 0,5222 cm

Respuesta

r = 0,5222 cm

8.Campos magnéticos e inducción

Respuesta: ε = 4,935 mV

Inducción electromagnética: el flujo a través de una espira es Φ = BA·cos θ, con θ entre B y la normal de la espira. Ley de Faraday: un cambio de flujo induce una fem = −N·dΦ/dt en una bobina de N espiras, y la ley de Lenz dice que la corriente inducida circula de modo que su propio campo se opone al cambio. Una varilla que se mueve a través de un campo da una fem = BLv. Una bobina que gira con ω da e = NBAω·sin ωt, con pico NBAω. Autoinducción: fem = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l para un solenoide largo, y la energía almacenada es W = ½LI². Dos bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Inductancia mutua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·100·0,0003142/0,4 = 49,35 µH

Fem inducida

ε = M·di/dt = 4,935 × 10⁻⁵·100 = 4,935 mV

Respuesta

ε = 4,935 mV

9.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: φ = −75,14 °

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Reactancia

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Corrientes de rama

Ambas ramas están conectadas directamente a la alimentación, así que cada una ve la tensión completa V.

I_R = V/R = 120/60 = 2 A

I_X = V/X_C = 120/15,92 = 7,54 A

Corriente total

La corriente de la resistencia está en fase con V y la corriente reactiva está desfasada 90°, así que se suman como los catetos de un triángulo rectángulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2² + 7,54²) = 7,801 A

Ángulo de fase

La corriente del condensador va adelantada respecto a V, así que la corriente total va adelantada y el ángulo es negativo.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(7,54/2) = −75,14°

Respuesta

φ = −75,14°

10.Impedancia y fasores en alterna

Respuesta: B = 15,92 Hz

Frecuencia de resonancia

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

Factor de calidad

Q compara la reactancia en resonancia con la resistencia: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,1/(0,1·10⁻⁶)) = 100

Ancho de banda

B = f₀/Q = 1592/100 = 15,92 Hz

Respuesta

B = 15,92 Hz

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