Identifica el convertidor (reductor, elevador o reductor-elevador) y el ciclo de trabajo D a partir de la relación de tensiones.
Usa el balance voltios-segundo en la bobina: la tensión media de la bobina a lo largo de un periodo es cero.
Halla la tensión de la bobina mientras el interruptor está cerrado y luego ΔIL = VL·D/(L·f).
Para el rizado de salida, halla la carga que entra y sale del condensador; para el límite de CCM, iguala la corriente media de la bobina a ΔIL/2.
Motores de corriente continua
Circuito del inducido
V = E + IaRa
Fuerza contraelectromotriz y par
E = k·ω, T = k·Ia
Rapidez
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidad en vacío y par de bloqueo
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potencias
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Arranque
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulación de velocidad
SR = (n0 − nFL)/nFL
Máxima potencia desarrollada
Pmax = V²/(4Ra)
Accionamiento con troceador
Va = D·Vdc
Método
Dibuja el circuito del inducido: la alimentación V, la resistencia Ra y la fuerza contraelectromotriz E en serie.
Usa V = E + Ia·Ra para relacionar tensión, corriente y fuerza contraelectromotriz.
Usa E = k·ω para la velocidad y T = k·Ia para el par, con ω = 2π·n/60.
Para potencia y rendimiento, parte de V·Ia, resta las pérdidas en el cobre Ia²·Ra y después las pérdidas rotacionales.
Potencia en alterna y factor de potencia
Potencia activa
P = V·I·cos φ
Potencia reactiva
Q = V·I·sin φ
Potencia aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Factor de potencia
pf = cos φ = P/S
Condensador de compensación
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potencia trifásica
Conexión en estrella (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Conexión en triángulo (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potencia activa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potencia aparente y reactiva
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Condensadores de compensación
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensión en cada condensador
Δ: VL Y: VL/√3
Potencia absorbida por el motor
Pin = Pout/η
2Problemas de práctica
1.Convertidores CC-CCMedia
Un convertidor elevador ideal convierte 24 V en 96 V a 250 kHz con L = 47 µH. Halla la corriente de rizado pico a pico de la bobina ΔIL.
Vin = 24 VVo = 96 Vf = 250 kHzL = 47 µH
ΔIL = A
2.Convertidores CC-CCDifícil
Un convertidor elevador ideal convierte 15 V en 50 V para una carga de 20 Ω a 20 kHz. Halla la menor inductancia Lcrit para conducción continua.
Vin = 15 VVo = 50 Vf = 20 kHzR = 20 Ω
Lcrit = µH
3.Motores de corriente continuaMedia
Un motor de corriente continua con k = 2 V·s/rad funciona a 240 V. Despreciando todas las pérdidas en vacío, halla su velocidad en vacío n0 en rpm.
V = 240 Vk = 2 V·s/rad
n0 = rpm
4.Motores de corriente continuaDifícil
Un motor de corriente continua de excitación independiente (k = 1,2 V·s/rad a campo completo, Ra = 0,4 Ω, V = 120 V) mueve un par de carga constante de 14,4 N·m. El flujo del campo se reduce al 85 % de su valor completo. Halla la nueva velocidad n.
Una carga inductiva consume 5 A y 600 W de una alimentación monofásica de 240 V (eficaces). Modélala como una resistencia R en serie con una reactancia X. Halla R.
V = 240 VI = 5 AP = 600 W
R = Ω
6.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 25 kW con un factor de potencia de 0,8 inductivo de una alimentación de 240 V y 60 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,98. Halla la nueva corriente de línea Inew.
P = 25 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.Potencia trifásicaMedia
Una carga equilibrada conectada en estrella, con una impedancia de 6 + j8 Ω por fase, se conecta a una alimentación trifásica equilibrada con una tensión de línea de 480 V. Halla la potencia activa total P que absorbe la carga en kW.
VL = 480 VZ = 6 + j8 Ω por fase
P = kW
8.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 50 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 690 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,98 inductivo. La potencia activa no cambia. Halla la potencia reactiva total QC que debe aportar la batería de condensadores, en kvar.
P = 50 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Disoluciones
1.Convertidores CC-CC
Respuesta: ΔIL = 1,532 A
Convertidores CC-CC: un interruptor S se cierra durante la fracción D de cada periodo T = 1/f. En régimen permanente la tensión media en la bobina es cero (balance voltios-segundo), lo que da las relaciones de conversión ideales en conducción continua: reductor Vo = D·Vin, elevador Vo = Vin/(1 − D), reductor-elevador inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertidor ideal conserva la potencia: Vin·Iin = Vo·Io. Mientras S está cerrado la corriente de la bobina aumenta ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo en el reductor y Vin en el elevador y en el reductor-elevador. El rizado de la salida es ΔVo = ΔIL/(8fC) en el reductor e Io·D/(fC) en el elevador y en el reductor-elevador. La corriente de la bobina apenas llega a cero (el límite de CCM) cuando la corriente media de la bobina es igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabajo
D = 1 − 24/96 = 0,75
Tensión de la bobina durante el tiempo de conducción
Mientras S está cerrado, la bobina queda directamente sobre Vin.
VL = 24 V
Corriente de rizado
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,75/(47·10⁻⁶·250·10³) = 1,532 A
Respuesta
ΔIL = 1,532 A
2.Convertidores CC-CC
Respuesta: Lcrit = 31,5 µH
Convertidores CC-CC: un interruptor S se cierra durante la fracción D de cada periodo T = 1/f. En régimen permanente la tensión media en la bobina es cero (balance voltios-segundo), lo que da las relaciones de conversión ideales en conducción continua: reductor Vo = D·Vin, elevador Vo = Vin/(1 − D), reductor-elevador inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertidor ideal conserva la potencia: Vin·Iin = Vo·Io. Mientras S está cerrado la corriente de la bobina aumenta ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo en el reductor y Vin en el elevador y en el reductor-elevador. El rizado de la salida es ΔVo = ΔIL/(8fC) en el reductor e Io·D/(fC) en el elevador y en el reductor-elevador. La corriente de la bobina apenas llega a cero (el límite de CCM) cuando la corriente media de la bobina es igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabajo
D = 1 − 15/50 = 0,7
Condición de límite
Iguala la corriente media de la bobina a la mitad de la corriente de rizado y despeja L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Inductancia crítica
Lcrit = 0,7(1 − 0,7)²·20/(220·10³) = 31,5 µH
Respuesta
Lcrit = 31,5 µH
3.Motores de corriente continua
Respuesta: n0 = 1146 rpm
Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia Ra en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + Ia·Ra. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·Ia, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·Ia = T·ω; la potencia de entrada es V·Ia, y las pérdidas en el cobre Ia²Ra y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − Ra·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/Ra. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/Ra es grande a menos que una resistencia la limite.
Velocidad en vacío
ω₀ = V/k = 240/2 = 120 rad/s
n0 = 60·120/(2π) = 1146 rpm
Respuesta
n0 = 1146 rpm
4.Motores de corriente continua
Respuesta: n = 1071 rpm
Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia Ra en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + Ia·Ra. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·Ia, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·Ia = T·ω; la potencia de entrada es V·Ia, y las pérdidas en el cobre Ia²Ra y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − Ra·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/Ra. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/Ra es grande a menos que una resistencia la limite.
El debilitamiento de campo es la forma en que un accionamiento de corriente continua funciona por encima de su velocidad base.
5.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: R = 24 Ω
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Resistencia a partir de la potencia activa
R = P/I² = 600/5² = 24 Ω
Respuesta
R = 24 Ω
6.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: Inew = 106,3 A
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(36,87°) = 18,75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(11,48°) = 5,076 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13,67 kvar
Nueva corriente de línea
Inew = P/(V·cos φ2) = 25000/(240·0,98) = 106,3 A
Respuesta
Inew = 106,3 A
7.Potencia trifásica
Respuesta: P = 13,82 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensión de fase
Vph = 480/√3 = 277,1 V
Corriente de fase
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 277,1/10 = 27,71 A
Potencia activa total
Solo la parte resistiva de cada impedancia absorbe potencia activa.
P = 3·Iph²·R = 3·27,71²·6 = 13,82 kW
Respuesta
P = 13,82 kW
Comprobación: cos φ = R/|Z| = 0,6, y √3·VL·IL·cos φ da la misma potencia.
8.Potencia trifásica
Respuesta: QC = 40,86 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.