Identifica el convertidor (reductor, elevador o reductor-elevador) y el ciclo de trabajo D a partir de la relación de tensiones.
Usa el balance voltios-segundo en la bobina: la tensión media de la bobina a lo largo de un periodo es cero.
Halla la tensión de la bobina mientras el interruptor está cerrado y luego ΔIL = VL·D/(L·f).
Para el rizado de salida, halla la carga que entra y sale del condensador; para el límite de CCM, iguala la corriente media de la bobina a ΔIL/2.
Motores de corriente continua
Circuito del inducido
V = E + IaRa
Fuerza contraelectromotriz y par
E = k·ω, T = k·Ia
Rapidez
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidad en vacío y par de bloqueo
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potencias
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Arranque
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulación de velocidad
SR = (n0 − nFL)/nFL
Máxima potencia desarrollada
Pmax = V²/(4Ra)
Accionamiento con troceador
Va = D·Vdc
Método
Dibuja el circuito del inducido: la alimentación V, la resistencia Ra y la fuerza contraelectromotriz E en serie.
Usa V = E + Ia·Ra para relacionar tensión, corriente y fuerza contraelectromotriz.
Usa E = k·ω para la velocidad y T = k·Ia para el par, con ω = 2π·n/60.
Para potencia y rendimiento, parte de V·Ia, resta las pérdidas en el cobre Ia²·Ra y después las pérdidas rotacionales.
Potencia en alterna y factor de potencia
Potencia activa
P = V·I·cos φ
Potencia reactiva
Q = V·I·sin φ
Potencia aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Factor de potencia
pf = cos φ = P/S
Condensador de compensación
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potencia trifásica
Conexión en estrella (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Conexión en triángulo (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potencia activa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potencia aparente y reactiva
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Condensadores de compensación
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensión en cada condensador
Δ: VL Y: VL/√3
Potencia absorbida por el motor
Pin = Pout/η
2Problemas de práctica
1.Convertidores CC-CCMedia
Un convertidor elevador ideal convierte 36 V en 90 V a 20 kHz con L = 330 µH. Halla la corriente de rizado pico a pico de la bobina ΔIL.
Vin = 36 VVo = 90 Vf = 20 kHzL = 330 µH
ΔIL = A
2.Convertidores CC-CCDifícil
Un convertidor elevador ideal convierte 48 V en 120 V para una carga de 50 Ω a 200 kHz. Halla la menor inductancia Lcrit para conducción continua.
Vin = 48 VVo = 120 Vf = 200 kHzR = 50 Ω
Lcrit = µH
3.Motores de corriente continuaMedia
Un motor de corriente continua (k = 0,12 N·m/A, Ra = 0,2 Ω) funciona a 24 V y mueve un par de carga de 1,2 N·m. Halla su velocidad n en rpm.
V = 24 Vk = 0,12 N·m/ARa = 0,2 ΩT = 1,2 N·m
n = rpm
4.Motores de corriente continuaDifícil
Un motor de corriente continua con k = 0,6 V·s/rad y Ra = 0,4 Ω debe mover una carga de 6 N·m a 300 rpm. Halla la tensión de inducido V que necesita.
k = 0,6 V·s/radRa = 0,4 ΩT = 6 N·mn = 300 rpm
V = V
5.Potencia en alterna y factor de potenciaMedia
Un motor monofásico consume 4 kW con un factor de potencia de 0,6 inductivo de una alimentación de 230 V. Halla la potencia reactiva Q que consume.
P = 4 kWpf = 0,6V = 230 V
Q = kvar
6.Potencia en alterna y factor de potenciaDifícil
Una carga monofásica consume 50 kW con un factor de potencia de 0,6 inductivo de una alimentación de 400 V y 60 Hz. Un condensador conectado en paralelo eleva el factor de potencia a 0,95. Halla la potencia reactiva QC que debe aportar el condensador.
P = 50 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.Potencia trifásicaMedia
Una carga equilibrada conectada en estrella, con una impedancia de 20 + j15 Ω por fase, se conecta a una alimentación trifásica equilibrada con una tensión de línea de 415 V. Halla la potencia activa total P que absorbe la carga en kW.
VL = 415 VZ = 20 + j15 Ω por fase
P = kW
8.Potencia trifásicaDifícil
Una carga trifásica equilibrada consume 250 kW con un factor de potencia de 0,7 inductivo de una alimentación de 400 V (de línea) y 50 Hz. Una batería trifásica de condensadores en paralelo con la carga debe elevar el factor de potencia total a 0,98 inductivo. La potencia activa no cambia. Los condensadores están conectados en estrella. Halla la capacidad Cph de cada condensador en µF.
P = 250 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Disoluciones
1.Convertidores CC-CC
Respuesta: ΔIL = 3,273 A
Convertidores CC-CC: un interruptor S se cierra durante la fracción D de cada periodo T = 1/f. En régimen permanente la tensión media en la bobina es cero (balance voltios-segundo), lo que da las relaciones de conversión ideales en conducción continua: reductor Vo = D·Vin, elevador Vo = Vin/(1 − D), reductor-elevador inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertidor ideal conserva la potencia: Vin·Iin = Vo·Io. Mientras S está cerrado la corriente de la bobina aumenta ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo en el reductor y Vin en el elevador y en el reductor-elevador. El rizado de la salida es ΔVo = ΔIL/(8fC) en el reductor e Io·D/(fC) en el elevador y en el reductor-elevador. La corriente de la bobina apenas llega a cero (el límite de CCM) cuando la corriente media de la bobina es igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabajo
D = 1 − 36/90 = 0,6
Tensión de la bobina durante el tiempo de conducción
Mientras S está cerrado, la bobina queda directamente sobre Vin.
VL = 36 V
Corriente de rizado
ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0,6/(330·10⁻⁶·20·10³) = 3,273 A
Respuesta
ΔIL = 3,273 A
2.Convertidores CC-CC
Respuesta: Lcrit = 12 µH
Convertidores CC-CC: un interruptor S se cierra durante la fracción D de cada periodo T = 1/f. En régimen permanente la tensión media en la bobina es cero (balance voltios-segundo), lo que da las relaciones de conversión ideales en conducción continua: reductor Vo = D·Vin, elevador Vo = Vin/(1 − D), reductor-elevador inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Un convertidor ideal conserva la potencia: Vin·Iin = Vo·Io. Mientras S está cerrado la corriente de la bobina aumenta ΔIL = VL·D·T/L, con VL = Vin − Vo en el reductor y Vin en el elevador y en el reductor-elevador. El rizado de la salida es ΔVo = ΔIL/(8fC) en el reductor e Io·D/(fC) en el elevador y en el reductor-elevador. La corriente de la bobina apenas llega a cero (el límite de CCM) cuando la corriente media de la bobina es igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabajo
D = 1 − 48/120 = 0,6
Condición de límite
Iguala la corriente media de la bobina a la mitad de la corriente de rizado y despeja L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Inductancia crítica
Lcrit = 0,6(1 − 0,6)²·50/(2200·10³) = 12 µH
Respuesta
Lcrit = 12 µH
3.Motores de corriente continua
Respuesta: n = 1751 rpm
Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia Ra en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + Ia·Ra. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·Ia, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·Ia = T·ω; la potencia de entrada es V·Ia, y las pérdidas en el cobre Ia²Ra y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − Ra·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/Ra. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/Ra es grande a menos que una resistencia la limite.
Corriente de inducido
Ia = T/k = 1,2/0,12 = 10 A
Fuerza contraelectromotriz y velocidad
E = 24 − 10·0,2 = 22 V
ω = E/k = 183,3 rad/s → n = 1751 rpm
Respuesta
n = 1751 rpm
4.Motores de corriente continua
Respuesta: V = 22,85 V
Motor de corriente continua: el inducido es una resistencia Ra en serie con la fuerza contraelectromotriz E, de modo que V = E + Ia·Ra. La fuerza contraelectromotriz crece con la velocidad, E = k·ω, y el par con la corriente, T = k·Ia, con la misma constante del motor k (V·s/rad = N·m/A) en unidades del SI. Convierte las velocidades con ω = 2π·n/60. La potencia desarrollada es E·Ia = T·ω; la potencia de entrada es V·Ia, y las pérdidas en el cobre Ia²Ra y las pérdidas rotacionales son la diferencia. La velocidad cae linealmente con el par, ω = V/k − Ra·T/k², desde la velocidad en vacío V/k hasta cero en el par de bloqueo k·V/Ra. En reposo E = 0, así que la corriente de arranque V/Ra es grande a menos que una resistencia la limite.
Fuerza contraelectromotriz
E = 0,6·31,42 = 18,85 V
Corriente de inducido
Ia = 6/0,6 = 10 A
Tensión de inducido
V = 18,85 + 10·0,4 = 22,85 V
Respuesta
V = 22,85 V
5.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: Q = 5,333 kvar
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Ángulo
φ = arccos(0,6) = 53,13°, tan φ = 1,333
Potencia reactiva
Q = P·tan φ = 4·1,333 = 5,333 kvar
Respuesta
Q = 5,333 kvar
6.Potencia en alterna y factor de potencia
Respuesta: QC = 50,23 kvar
Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa P no cambia; solo cambia la potencia reactiva que se toma de la red.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(53,13°) = 66,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(18,19°) = 16,43 kvar
QC = Q1 − Q2 = 50,23 kvar
Respuesta
QC = 50,23 kvar
7.Potencia trifásica
Respuesta: P = 5,511 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensión de fase
Vph = 415/√3 = 239,6 V
Corriente de fase
|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω
Iph = 239,6/25 = 9,584 A
Potencia activa total
Solo la parte resistiva de cada impedancia absorbe potencia activa.
P = 3·Iph²·R = 3·9,584²·20 = 5,511 kW
Respuesta
P = 5,511 kW
Comprobación: cos φ = R/|Z| = 0,8, y √3·VL·IL·cos φ da la misma potencia.
8.Potencia trifásica
Respuesta: Cph = 4064 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, VL = √3·Vph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, IL = √3·Iph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada uno de los tres condensadores aporta QC/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: VL en una batería en triángulo, VL/√3 en una batería en estrella.
Potencia reactiva antes y después
La potencia activa no cambia, así que cada factor de potencia fija la potencia reactiva: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,7) = 250·1,02 = 255,1 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar
Potencia reactiva de los condensadores
QC = Q1 − Q2 = 204,3 kvar
Capacidad por fase
En una batería en estrella cada condensador está conectado entre una línea y el centro de la estrella.