Señales y sistemas: pack de repaso

Convolución continua: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Invierte h, desplázala hasta la posición t e integra el producto de las partes que se solapan. Para señales causales la integral va de 0 a t. Resultados útiles: el área de y es el área de x por el área de h; si x dura de t₁ a t₂ y h de t₃ a t₄, y dura de t₁ + t₃ a t₂ + t₄. Para h(t) = e^−atu(t) y un escalón de altura A, y(t) = (A/a)(1 − e^−at).

Respuesta al impulso y serie de Fourier: la respuesta al impulso h(t) describe por completo un sistema LTI: para y′ + a·y = b·x es h(t) = b·e^−atu(t), y para y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] es h[n] = b·aⁿu[n]. Una sinusoide cos ωt pasa con ganancia |H(jω)| y fase ∠H(jω), donde H es la transformada de Fourier de h. Una señal periódica es una suma de armónicos a k/T: una onda cuadrada de ±A tiene solo armónicos impares con amplitudes 4A/(kπ), una onda triangular de pico A tiene 8A/(π²k²), y un tren de pulsos de altura A y ciclo de trabajo D tiene el valor medio A·D y los armónicos (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e^−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Transformada de Laplace: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt convierte las derivadas en multiplicaciones por s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pares estándar: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), y un desplazamiento s → s + σ multiplica la función temporal por e^−σt. Para invertir una F(s) racional, descomponla en fracciones parciales: el residuo de un polo simple p es A = [(s − p)·F(s)] en s = p. Teorema del valor final: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), válido solo cuando todos los polos de s·F(s) están en el semiplano izquierdo. Teorema del valor inicial: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jω_d con ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, tiempo de pico t_p = π/ω_d y tiempo de establecimiento al 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.