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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el producto escalar a·b de a = (3, 2, −4) y b = (−1, −6, 2).
a = (3, 2, −4)b = (−1, −6, 2)
a·b =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (−1, 5, 3) y a b = (−5, −1, 1) y tiene componente z positiva. Halla su componente y n̂y.
a = (−1, 5, 3)b = (−5, −1, 1)n̂z > 0
n̂y =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w desde el muro hasta 3,5 m y una carga puntual P a 4,5 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
L = 5 mP = 20 kN en 4,5 mw = 2 kN/m de 0 a 3,5 m
MA = kN·m
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 1 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 2 m hasta el extremo libre en 5 m. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.
AB = 3,5 mAC = 5 mP = 50 kN en 1 mw = 6 kN/m de 2 a 5 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 20 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 30 kNcarga horizontal = 30 kN →
FAC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 150 N en A (a 200 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 150 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 150 NOA = 200 mmOB = 150 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una prensa de rodilla tiene dos bielas iguales AB y BC, cada una de 120 mm de longitud entre pasadores. La articulación B está 8 mm por encima de la recta AC. ¿Qué fuerza hacia abajo F en B produce una fuerza de prensado horizontal de 1000 N en el deslizador C? Desprecia el rozamiento y los pesos.
Q = 1000 NAB = BC = 120 mmh = 8 mm
F = N
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 25 kN·m en x = 1 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mM0 = 25 kN·m en sentido horario, en 1 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo Mmax entre los apoyos.
L = 5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mapoyos en x = 0 y x = 4 m
Mmax = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 140 mm de ancho con dos alas verticales de 60 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
b = 140 mmh = 60 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Multiplica las componentes correspondientes y suma
Negativo: el ángulo entre los vectores es mayor de 90°.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: n̂y = −0,4576
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Resultante de la carga repartida
W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = 1,75 m
Momento respecto al muro
MA = P·a + W·x̄ = 20·4,5 + 7·1,75 = 102,3 kN·m
Respuesta
MA = 102,3 kN·m
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 35,71 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Resultante de la carga repartida
W = 6·3 = 18 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3,5 m
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·3,5 = 50·1 + 18·3,5
RB = 113/3,5 = 32,29 kN
RA = 68 − 32,29 = 35,71 kN
Respuesta
RA = 35,71 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAC = 5 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 15 = 5 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 30·4 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 37,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 150·200/150 = 200 N
Reacción en el pasador
Ox = 200 N, Oy = 150 N
FO = √(200² + 150²) = 250 N
Respuesta
FO = 250 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: F = 133,6 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Ángulo de la biela
sin θ = 8/120 = 0,06667, θ = 3,823°
Fuerza en la biela
Flink = Q/cos θ = 1002 N
Fuerza en B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1000·tan θ = 133,6 N
Respuesta
F = 133,6 N
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 22,5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/10 = 2,5 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −2,5 kN (hacia abajo)
Corte justo a la derecha del par
La parte izquierda contiene ahora RA y el par.
Mx = RA·a + M0 = −2,5·1 + 25 = 22,5 kN·m
Respuesta
Mx = 22,5 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 3,516 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 140·14 = 1960 mm², y1 = 7 mm
dos alas: A2 = 2·14·46 = 1288 mm², y2 = 14 + 46/2 = 37 mm
Centroide
ȳ = (1960·7 + 1288·37)/3248 = 18,9 mm
Teorema de Steiner
base: 140·14³/12 + 1960·(7 − 18,9)² = 309408 mm⁴
dos alas: 2·14·46³/12 + 1288·(37 − 18,9)² = 649240 mm⁴
Ix = 309408 + 649240
Ix = 958648 mm⁴ = 0,9586 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 0,9586 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 89,38 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm