Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Una fuerza constante F = (15, −20, −15) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(−1, 5, 1) al punto B(4, −4, −5). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.

F = (15, −20, −15) NA(−1, 5, 1) mB(4, −4, −5) m

W = J

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Halla el área A del paralelogramo generado por a = (5, 6, 3) y b = (0, 5, 5).

a = (5, 6, 3)b = (0, 5, 5)

A =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que crece desde cero en A hasta 15 kN/m en B. Además actúa una carga puntual P a 4 m de A. Halla la reacción vertical R_B.

L = 8 mw₀ = 15 kN/mP = 25 kN en 4 m

R_B = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 10 mP = 45 kN en 5 mw = 10 kN/m de 2 a 9 m

R_A = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 2 mB está a 5 m de Acarga vertical = 50 kN

F_AC = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 4 mB está a 7 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 10 kN →

F_AC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

En la abrazadera de rodilla mostrada, dos bielas iguales AB y BC están articuladas en B, y cada una forma 30° con la recta AC. En B se aplica una fuerza hacia abajo de 100 N. El deslizador C presiona una pieza. Despreciando el rozamiento y los pesos, halla la fuerza de apriete horizontal Q.

F = 100 Nθ = 30°

Q = N

8.Bastidores y máquinasDifícil

La viga AB de la ménsula de pared mostrada está articulada en A y apuntalada por el puntal CD (C está 0,8 m por debajo de A). La viga soporta una carga uniforme de 4 kN/m en toda su longitud y una carga puntual de 2 kN en su extremo libre B. Halla la fuerza F_CD en el puntal.

w = 4 kN/mP = 2 kNAD = 1,6 mAB = 2,4 mAC = 0,8 m

F_CD = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 3 m12 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 8 mP = 35 kN en 5 mw = 8 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_superior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: W = 345 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Desplazamiento

d = B − A = (4, −4, −5) − (−1, 5, 1) = (5, −9, −6) m

Trabajo

W = F·d = 15·5 + (−20)·(−9) + (−15)·(−6) = 345 J

Respuesta

W = 345 J

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: A = 38,41

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·5 − 3·5 = 15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·0 − 5·5 = −25

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·5 − 6·0 = 25

Área

A = |a × b| = √(15² + (−25)² + 25²) = 38,41

Respuesta

A = 38,41

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 52,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·15·8 = 60 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·5,333 + 25·4

R_B = 52,5 kN

R_A = 85 − 52,5 = 32,5 kN

Respuesta

R_B = 52,5 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 54 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, aplicada en x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 10·7·5,5

R_B = 610/10 = 61 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 61 = 54 kN

Respuesta

R_A = 54 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 20,83 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 → C_y = 41,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 41,67 = 8,333 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41,67/0,8944 = −46,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46,58)·0,4472 = 20,83 kN

Respuesta

F_AC = 20,83 kN (tracción)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 14,38 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 + 10·4 → C_y = 57,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 57,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −57,5/0,9701 = −59,27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−59,27)·0,2425 = 14,38 kN

Respuesta

F_AC = 14,38 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: Q = 86,6 N

Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y F_in·a = F_out·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).

Equilibrio del pasador B

2·F_link·sin 30° = 100

F_link = 100 N

Fuerza de apriete

Q = F_link·cos 30° = 100/(2·tan 30°) = 86,6 N

Respuesta

Q = 86,6 N

La relación de fuerzas Q/F = 0,866 crece sin límite a medida que las bielas se enderezan.

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_CD = 22,81 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Resultante de la carga uniforme

w·L = 4·2,4 = 9,6 kN en 1,2 m

Momentos respecto a A para la viga

F_CD·0,4472·1,6 = 9,6·1,2 + 2·2,4 = 16,32 kN·m

F_CD = 22,81 kN

Respuesta

F_CD = 22,81 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 50 kN, R₂ = 60 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 94, M_D = 126 kN·m, M_E = 96, M_F = 54, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 126 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 125,6 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 8·8·4

R_B = 431/8 = 53,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 53,88 = 45,13 kN

¿Dónde es V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 5,125 kN

V(5⁺) = 5,125 − 35 = −29,88 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 45,13·5 − 8·5²/2 = 125,6 kN·m

Respuesta

M_max = 125,6 kN·m

Se produce en x = 5 m desde A.

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 55,35 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

alma: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·275 + 2600·130)/9800 = 236,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·30³/12 + 7200·(275 − 236,5)² = 1,12 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·260³/12 + 2600·(130 − 236,5)² = 4,415 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,12 × 10⁷ + 4,415 × 10⁷ = 5,535 × 10⁷ mm⁴ = 55,35 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 55,35 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 6,838 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

alma: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·250 + 3360·120)/7760 = 193,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·20³/12 + 4400·(250 − 193,7)² = 1,409 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 193,7)² = 3,438 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,409 × 10⁷ + 3,438 × 10⁷ = 4,847 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 260 − 193,7 = 66,29 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·66,29/4,847 × 10⁷ = 6,838 MPa

Respuesta

σ_superior = 6,838 MPa

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