Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla el producto escalar a·b de a = (−1, −4, 2) y b = (6, −1, 7).

a = (−1, −4, 2)b = (6, −1, 7)

a·b =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (2, −4, 3) y a b = (1, −5, 2) y tiene componente z positiva. Halla su componente x n̂_x.

a = (2, −4, 3)b = (1, −5, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN en 1 mP₂ = 15 kN en 4 m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 10 mP = 45 kN en 7 mw = 5 kN/m de 3 a 6 m

R_A = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 3 mB está a 5 m de Acarga vertical = 60 kN

F_AB = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 40 kNcarga horizontal = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

Una viga horizontal AB está articulada a una pared en A y apuntalada por el puntal CD, articulado a la pared en C, 1,5 m por debajo de A. Una carga de 3 kN cuelga en B. Desprecia los pesos. Halla el valor de la fuerza A en el pasador sobre la viga en A.

P = 3 kNAD = 1,2 mAB = 3 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

Una pluma horizontal uniforme AB de peso 3 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde B hasta el punto C de la pared, 4 m por encima de A. En B cuelga una carga de 12 kN. Halla el valor de la reacción A en el pasador.

W = 12 kNW_b = 3 kNAB = 4 mAC = 4 m

A = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 4,5 m

V_x = kN

10.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 10 mw = 8 kN/m de 5 a 10 m

M_max = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 190 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 440 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 40 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 190 mmH = 440 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: a·b = 12

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Multiplica las componentes correspondientes y suma

a·b = (−1)·6 + (−4)·(−1) + 2·7 = (−6) + 4 + 14 = 12

Respuesta

a·b = 12

Positivo: el ángulo entre los vectores es menor de 90°.

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: n̂_x = −0,7548

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·2 − 3·(−5) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·1 − 2·2 = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−5) − (−4)·1 = −6

Normalizar

La componente z de a × b es negativa, así que usa −(a × b).

|a × b| = √(7² + (−1)² + (−6)²) = 9,274

n̂ = −(7, −1, −6)/9,274 = (−0,7548, 0,1078, 0,647)

n̂_x = −0,7548

Respuesta

n̂_x = −0,7548

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 55 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 15·4

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 20 = 55 kN

Respuesta

R_A = 55 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 21,75 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·3 = 15 kN, aplicada en x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·7 + 5·3·4,5

R_B = 382,5/10 = 38,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 38,25 = 21,75 kN

Respuesta

R_A = 21,75 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −43,73 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·5 → C_y = 37,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 37,5 = 22,5 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22,5/0,5145 = −43,73 kN

Respuesta

F_AB = −43,73 kN (compresión)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 5 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 − 20·4 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 20 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,9701 = −20,62 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,62)·0,2425 = 5 kN

Respuesta

F_AC = 5 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: A = 7,5 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el puntal

F_CD = 3·3/(0,7809·1,2) = 9,605 kN

Componentes en A

A_x = F_CD·cos α = 6 kN (hacia la pared)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −4,5 kN

Módulo

A = √(6² + −4,5²) = 7,5 kN

Respuesta

A = 7,5 kN

Una A_y negativa significa que la pared tira de la viga hacia abajo en A.

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: A = 13,58 kN

Tensión del cable

T = (12 + 3/2)/0,7071 = 19,09 kN

Componentes en A

A_x = T·cos β = 13,5 kN

A_y = 12 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Módulo

A = √(13,5² + 1,5²) = 13,58 kN

Respuesta

A = 13,58 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −1 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 8 − 2·4,5 = −1 kN

Respuesta

V_x = −1 kN

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 56,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, aplicada en x̄ = 7,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·5·7,5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 30 = 10 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en R_A, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

R_A − w·(x₀ − 5) = 0

x₀ = 5 + 10/8 = 6,25 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 5)²/2 = 10·6,25 − 8·1,25²/2 = 56,25 kN·m

Respuesta

M_max = 56,25 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 706,9·90)/(60000 − 706,9) = 150,7 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,7153² = 450 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−60,72² = 2,645 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 447,4 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 23,28 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 440 − 2·20 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·440³ − 182·400³)/12

I_x = 3,781 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 220 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·220/3,781 × 10⁸ = 23,28 MPa

Respuesta

σ_max = 23,28 MPa

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