Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Una fuerza constante F = (−30, 30, −15) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(4, −3, −4) al punto B(3, −5, 5). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.

F = (−30, 30, −15) NA(4, −3, −4) mB(3, −5, 5) m

W = J

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Halla el área A del triángulo de vértices A(−1, −1, −3), B(−2, −1, 2) y C(3, 1, 4). Las coordenadas están en metros.

A(−1, −1, −3)B(−2, −1, 2)C(3, 1, 4)

A = m²

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 15 kN/m en A hasta cero en B. Además actúa una carga puntual P a 5 m de A. Halla la reacción vertical R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 35 kN en 5 m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 3 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 6 m de A). Soporta una carga puntual P a 4,5 m de A y una carga puntual Q a 1,5 m de A. Halla el valor del momento de empotramiento M_A en el muro.

AC = 3 mAD = 6 mP = 30 kN en 4,5 mQ = 70 kN en 1,5 m

M_A = kN·m

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 3 mB está a 7 m de Acarga vertical = 25 kN

F_AC = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 60 kNcarga horizontal = 30 kN →

F_AC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 150 N en A (a 150 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 75 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción F_O en el pasador.

F = 150 NOA = 150 mmOB = 75 mm

F_O = N

8.Bastidores y máquinasDifícil

El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 5 m, y B está a 2 m de altura y a 2,25 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 10 kN en K, a 1,35 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 4 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal A_x en A.

P = 10 kNQ = 4 kNL = 5 mH = 2 mdistancia horizontal de A a B = 2,25 mdistancia horizontal de A a K = 1,35 m

A_x = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 10 kN en 2,5 mw = 4 kN/m de 0 a 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 250 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 340 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 50 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 250 mmH = 340 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: W = −165 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Desplazamiento

d = B − A = (3, −5, 5) − (4, −3, −4) = (−1, −2, 9) m

Trabajo

W = F·d = (−30)·(−1) + 30·(−2) + (−15)·9 = −165 J

Respuesta

W = −165 J

Trabajo negativo: la fuerza actúa sobre todo en contra del movimiento.

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: A = 14,43 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vectores de las aristas

AB = B − A = (−1, 0, 5)

AC = C − A = (4, 2, 7)

Producto vectorial

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·7 − 5·2 = −10

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·4 − (−1)·7 = 27

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·2 − 0·4 = −2

|AB × AC| = √((−10)² + 27² + (−2)²) = 28,86

Área del triángulo

A = ½·28,86 = 14,43 m²

Respuesta

A = 14,43 m²

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 35,83 kN

Resultante de la carga triangular

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 35·5

R_B = 44,17 kN

R_A = 80 − 44,17 = 35,83 kN

Respuesta

R_A = 35,83 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: M_A = 150 kN·m

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.

Tramo CD

La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.

ΣM_C = 0: R_D·3 = 30·1,5

R_D = 15 kN

V_C = 30 − 15 = 15 kN

Tramo AC

La fuerza en la rótula V_C actúa hacia abajo sobre AC (igual y opuesta a su acción sobre CD).

R_A = 70 + 15 = 85 kN

M_A = 70·1,5 + 15·3 = 150 kN·m

Respuesta

M_A = 150 kN·m

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 7,292 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 → C_y = 21,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21,88 = 3,125 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,88/0,9487 = −23,06 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,06)·0,3162 = 7,292 kN

Respuesta

F_AC = 7,292 kN (tracción)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 33,75 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 + 30·4 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −45/0,8 = −56,25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−56,25)·0,6 = 33,75 kN

Respuesta

F_AC = 33,75 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_O = 335,4 N

Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y F_in·a = F_out·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).

Fuerza en B

Q = 150·150/75 = 300 N

Reacción en el pasador

O_x = 300 N, O_y = 150 N

F_O = √(300² + 150²) = 335,4 N

Respuesta

F_O = 335,4 N

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: A_x = 1,912 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Dirección de BC

BC = 3,4 m, cos = 0,8087, sin = 0,5882

Todo el bastidor: momentos respecto a A

F_BC·0,5882·5 = 10·1,35 + 4·2

F_BC = 7,311 kN

Equilibrio horizontal

A_x + 4 − 7,311·0,8087 = 0

A_x = 1,912 kN → |A_x| = 1,912 kN

Respuesta

A_x = 1,912 kN

A_x apunta hacia la derecha.

9.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 15,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 8·3,5 − 2·3,5·1,75 = 15,75 kN·m

Respuesta

M_x = 15,75 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 32,08 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2,5 + 4·6·3

R_B = 97/6 = 16,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 16,17 = 17,83 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 17,83·2,5 − 4·2,5·1,25 = 32,08 kN·m

Respuesta

M_x = 32,08 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 43,25 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

alma: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·247,5 + 3360·120)/6660 = 183,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·15³/12 + 3300·(247,5 − 183,2)² = 1,372 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 183,2)² = 2,954 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,372 × 10⁷ + 2,954 × 10⁷ = 4,325 × 10⁷ mm⁴ = 43,25 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 43,25 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 37,8 MPa

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 340 − 2·14 = 312 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·340³ − 242·312³)/12

I_x = 2,063 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 170 − 14 = 156 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·156/2,063 × 10⁸ = 37,8 MPa

Respuesta

σ_j = 37,8 MPa

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