Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|

Método

  1. Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
  2. Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
  3. Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d

Método

  1. Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
  2. Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
  3. Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
  4. Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
  2. Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
  3. Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
  4. Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga

Método

  1. Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
  2. Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
  3. Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
  4. Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
xyzab

Halla el ángulo θ entre los vectores a = (0, −1, 2) y b = (−3, 5, 5), en grados.

a = (0, −1, 2)b = (−3, 5, 5)
θ = °
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
xyzABC

Halla el área A del triángulo de vértices A(0, −3, −2), B(−3, 3, −3) y C(−3, −3, −1). Las coordenadas están en metros.

A(0, −3, −2)B(−3, 3, −3)C(−3, −3, −1)
A = m²
3.Reacciones en vigasMedia
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABCRB​ = ?0,5 m3 m1,5 m

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.

AB = 3,5 mAC = 5 mP1 = 45 kN en 0,5 mP2 = 10 kN en 5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
P = 80 kN, 45°Q = 55 kNABRA​ = ?1 m2,5 m0,5 m

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 1 m de A, inclinada 45° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3,5 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.

L = 4 mP = 80 kN en 1 m, θ = 45°Q = 55 kN en 3,5 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
ABCDEFGH10 kN25 kN4 × 4 m4 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 10 kN ↓D: 25 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro FC
  13. 13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
ABCDEFGH10 kN15 kN40 kN10 kN4 × 3 m3 m

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 10 kN ↓
  1. 1miembro AB
  2. 2miembro BC
  3. 3miembro CD
  4. 4miembro DE
  5. 5miembro FG
  6. 6miembro GH
  7. 7miembro AF
  8. 8miembro HE
  9. 9miembro BF
  10. 10miembro CG
  11. 11miembro DH
  12. 12miembro BG
  13. 13miembro DG
7.Bastidores y máquinasMedia
12 kN0,75 m0,75 m0,8 mABCD

Una viga horizontal AB está articulada a una pared en A y apuntalada por el puntal CD, articulado a la pared en C, 0,8 m por debajo de A. Una carga de 12 kN cuelga en B. Desprecia los pesos. Halla el valor de la fuerza A en el pasador sobre la viga en A.

P = 12 kNAD = 0,75 mAB = 1,5 mAC = 0,8 m
A = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
5 kN3 kN5 m2,5 mABC

Una pluma horizontal uniforme AB de peso 3 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde su extremo B hasta el punto C de la pared, 2,5 m por encima de A. En B cuelga una carga de 5 kN. Halla la tensión T en el cable.

W = 5 kNWb = 3 kNAB = 5 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
w = 10 kN/mABsección1,5 m8,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
w = 16 kN/mAB4 m4 m

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.

L = 8 mw = 16 kN/m de 0 a 4 m
Mmax = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
260160t = 20xcotas en mm

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 260 mm de ancho con dos alas verticales de 160 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 20 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 260 mmh = 160 mmt = 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
1003020014xM = 40 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 40 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.

bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 200 mmM = 40 kN·m
σsuperior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: θ = 73,08 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = 0·(−3) + (−1)·5 + 2·5 = 5

Módulos

|a| = √(0² + (−1)² + 2²) = 2,236
|b| = √((−3)² + 5² + 5²) = 7,681

Ángulo

cos θ = 5/(2,236·7,681) = 0,2911
θ = arccos(0,2911) = 73,08°

Respuesta

θ = 73,08°
2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: A = 9,95 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vectores de las aristas

AB = B − A = (−3, 6, −1)
AC = C − A = (−3, 0, 1)

Producto vectorial

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 6·1 − (−1)·0 = 6
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−1)·(−3) − (−3)·1 = 6
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−3)·0 − 6·(−3) = 18
|AB × AC| = √(6² + 6² + 18²) = 19,9

Área del triángulo

A = ½·19,9 = 9,95 m²

Respuesta

A = 9,95 m²
3.Reacciones en vigas

Respuesta: RB = 20,71 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣMA = 0: RB·3,5 = 45·0,5 + 10·5
RB = 72,5/3,5 = 20,71 kN

Equilibrio vertical

RA = 45 + 10 − 20,71 = 34,29 kN

Respuesta

RB = 20,71 kN
4.Reacciones en vigas

Respuesta: RA = 75,04 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Componentes de P

Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN

Reacciones

ΣMA = 0: RB·4 = 56,57·1 + 55·3,5 → RB = 62,27 kN
Ay = 56,57 + 55 − 62,27 = 49,3 kN
Ax = Ph = 56,57 kN

Resultante en A

RA = √(56,57² + 49,3²) = 75,04 kN

Respuesta

RA = 75,04 kN
5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo G

FG y GH están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 13,75 kN (T), BC: 13,75 kN (T), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 17,5 kN (C), GH: 17,5 kN (C), AF: 19,45 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 5,303 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 46,25 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 42,5 kN (T), DE: 28,75 kN (T), FG: 46,25 kN (C), GH: 28,75 kN (C), AF: 8,839 kN (C), HE: 40,66 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 28,75 kN (T), BG: 5,303 kN (T), DG: 19,45 kN (C)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG
7.Bastidores y máquinas

Respuesta: A = 25,5 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el puntal

FCD = 12·1,5/(0,7295·0,75) = 32,9 kN

Componentes en A

Ax = FCD·cos α = 22,5 kN (hacia la pared)
Ay = 12 − FCD·sin α = −12 kN

Módulo

A = √(22,5² + −12²) = 25,5 kN

Respuesta

A = 25,5 kN

Una Ay negativa significa que la pared tira de la viga hacia abajo en A.

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 14,53 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Ángulo del cable

BC = √(5² + 2,5²) = 5,59 m, sin β = 0,4472

Momentos respecto a A

T·0,4472·5 = 5·5 + 3·2,5
T = 14,53 kN

Respuesta

T = 14,53 kN
9.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 63,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 50RB​ = 50sección1,5 m8,5 m

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 50·1,5 − 10·1,5·0,75 = 63,75 kN·m

Respuesta

Mx = 63,75 kN·m
10.Cortante y momento flector

Respuesta: Mmax = 72 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 16·4·2
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 16 = 48 kN

Cortante nulo

El cortante empieza en RA, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 48/16 = 3 m

Momento máximo

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 48·3 − 16·3²/2 = 72 kN·m

Respuesta

Mmax = 72 kN·m
11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 26,58 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A1 = 260·20 = 5200 mm², y1 = 10 mm
dos alas: A2 = 2·20·140 = 5600 mm², y2 = 20 + 140/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (5200·10 + 5600·90)/10800 = 51,48 mm

Teorema de Steiner

base: 260·20³/12 + 5200·(10 − 51,48)² = 9,121 × 10⁶ mm⁴
dos alas: 2·20·140³/12 + 5600·(90 − 51,48)² = 1,746 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,121 × 10⁶ + 1,746 × 10⁷
Ix = 2,658 × 10⁷ mm⁴ = 26,58 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 26,58 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σsuperior = 98,24 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
alma: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·215 + 2800·100)/5800 = 159,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·30³/12 + 3000·(215 − 159,5)² = 9,471 × 10⁶ mm⁴
alma: 14·200³/12 + 2800·(100 − 159,5)² = 1,924 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,471 × 10⁶ + 1,924 × 10⁷ = 2,871 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 230 − 159,5 = 70,52 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·70,52/2,871 × 10⁷ = 98,24 MPa

Respuesta

σsuperior = 98,24 MPa

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