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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Una fuerza constante F = (−5, −10, −25) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(−1, 2, −3) al punto B(−1, −1, 3). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.
F = (−5, −10, −25) NA(−1, 2, −3) mB(−1, −1, 3) m
W = J
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (−5, 3, 2), b = (5, 3, −4) y c = (3, 5, 3).
a = (−5, 3, 2)b = (5, 3, −4)c = (3, 5, 3)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 4 mP1 = 35 kN en 1,5 mP2 = 45 kN en 2 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 4 m de A, inclinada 50° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 1 m de A. Halla el ángulo α entre la reacción total en la articulación A y la horizontal.
L = 5 mP = 75 kN en 4 m, θ = 50°Q = 15 kN en 1 m
α = °
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 35 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 4 mB está a 1 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 25 kN →
FAB = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 80 N en A (a 240 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 75 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 80 NOA = 240 mmOB = 75 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una prensa de rodilla tiene dos bielas iguales AB y BC, cada una de 150 mm de longitud entre pasadores. La articulación B está 12 mm por encima de la recta AC. ¿Qué fuerza hacia abajo F en B produce una fuerza de prensado horizontal de 2000 N en el deslizador C? Desprecia el rozamiento y los pesos.
Q = 2000 NAB = BC = 150 mmh = 12 mm
F = N
9.Cortante y momento flectorMedia
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 2 m de A. Halla el momento flector MA en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5 mP = 35 kN en 2 mw = 12 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
35 kN @ 0 m50 kN @ 12 m10 kN @ 8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 150 mm × 240 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 156 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 25 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Desplazamiento
d = B − A = (−1, −1, 3) − (−1, 2, −3) = (0, −3, 6) m
Trabajo
W = F·d = (−5)·0 + (−10)·(−3) + (−25)·6 = −120 J
Respuesta
W = −120 J
Trabajo negativo: la fuerza actúa sobre todo en contra del movimiento.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 194
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·3 − (−4)·5 = 29
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−4)·3 − 5·3 = −27
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·5 − 3·3 = 16
Producto escalar con a
a·(b × c) = (−5)·29 + 3·(−27) + 2·16 = −194
V = |−194| = 194
Respuesta
V = 194
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 35,63 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 35·1,5 + 45·2
RB = 142,5/4 = 35,63 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 35,63 = 44,38 kN
Respuesta
RB = 35,63 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: α = 25,98 °
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Componentes de P
Pv = 75·sin 50° = 57,45 kN
Ph = 75·cos 50° = 48,21 kN
Reacciones
ΣMA = 0: RB·5 = 57,45·4 + 15·1 → RB = 48,96 kN
Ay = 57,45 + 15 − 48,96 = 23,49 kN
Ax = Ph = 48,21 kN
Dirección en A
α = atan(Ay/Ax) = atan(23,49/48,21) = 25,98°
Respuesta
α = 25,98°
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = −19,57 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·2 → Cy = 8,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8,75 = 26,25 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 + 25·4 → Cy = 24,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 24,17 = 20,83 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20,83/0,9701 = −21,47 kN
Respuesta
FAB = −21,47 kN (compresión)
7.Bastidores y máquinas
Respuesta: FO = 268,2 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 80·240/75 = 256 N
Reacción en el pasador
Ox = 256 N, Oy = 80 N
FO = √(256² + 80²) = 268,2 N
Respuesta
FO = 268,2 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: F = 321 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Ángulo de la biela
sin θ = 12/150 = 0,08, θ = 4,589°
Fuerza en la biela
Flink = Q/cos θ = 2006 N
Fuerza en B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 321 N
Respuesta
F = 321 N
9.Cortante y momento flector
Respuesta: MA = −220 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Quédate con la parte del extremo libre
P: −35·2 = −70 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −70 − 150 = −220 kN·m
Respuesta
MA = −220 kN·m
Negativo significa tracción en la cara superior.
10.Cortante y momento flector
Respuesta: F (x = 10 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 33,75 kN, R2 = 61,25 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −70, MC = −72,5, MD = −75, ME = −77,5, MF = −100 kN·m, MG = 0
Respuesta
Marca F: MF = −100 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (36000·120 − 2827·156)/(36000 − 2827) = 116,9 mm
Placa completa respecto a ȳ
150·240³/12 + 36000·3,068² = 173,1 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·60⁴/64 + 2827·39,07² = 4,952 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 219,3 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192,5 mm