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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el producto escalar a·b de a = (2, 2, 5) y b = (−3, −3, −3).
a = (2, 2, 5)b = (−3, −3, −3)
a·b =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Para a = (5, 1, 6) y b = (5, −1, −6), halla la componente z (a × b)z del producto vectorial a × b.
a = (5, 1, 6)b = (5, −1, −6)
(a × b)z =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 2,5 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 55 kN en 1,5 mP2 = 65 kN en 4 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga linealmente variable que es nula en el muro y crece hasta 20 kN/m en el extremo libre B, además de una carga puntual P a 2 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
L = 4 mw0 = 20 kN/mP = 75 kN en 2 m
MA = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
B: 40 kN ↓H: 30 kN ↓
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro BG
13miembro DG
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 100 N en A (a 120 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 80 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 100 NOA = 120 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una prensa de rodilla tiene dos bielas iguales AB y BC, cada una de 150 mm de longitud entre pasadores. La articulación B está 5 mm por encima de la recta AC. ¿Qué fuerza hacia abajo F en B produce una fuerza de prensado horizontal de 3000 N en el deslizador C? Desprecia el rozamiento y los pesos.
Q = 3000 NAB = BC = 150 mmh = 5 mm
F = N
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 20 kN·m en x = 4 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 6 mM0 = 20 kN·m en sentido horario, en 4 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 5 mP = 30 kN en 2 mw = 4 kN/m de 0 a 5 m
Mmax = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Multiplica las componentes correspondientes y suma
Negativo: el ángulo entre los vectores es mayor de 90°.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: (a × b)z = −10
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial, componente a componente
(a × b)x = aybz − azby = 1·(−6) − 6·(−1) = 0
(a × b)y = azbx − axbz = 6·5 − 5·(−6) = 60
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−1) − 1·5 = −10
Componente pedida
(a × b)z = −10
Respuesta
(a × b)z = −10
Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = −17 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A
Antihorario positivo.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 55·1,5 + 65·4
RB = 342,5/2,5 = 137 kN
Equilibrio vertical
RA = 55 + 65 − 137 = −17 kN
Respuesta
RA = −17 kN
RA es negativa: la articulación en A tiene que sujetar la viga hacia abajo.
4.Reacciones en vigas
Respuesta: MA = 256,7 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Resultante de la carga triangular
W = ½·20·4 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
Momento respecto al muro
MA = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 75·2 = 256,7 kN·m
Respuesta
MA = 256,7 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: miembro CG
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo C
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo C
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 100·120/80 = 150 N
Reacción en el pasador
Ox = 150 N, Oy = 100 N
FO = √(150² + 100²) = 180,3 N
Respuesta
FO = 180,3 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: F = 200,1 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Ángulo de la biela
sin θ = 5/150 = 0,03333, θ = 1,91°
Fuerza en la biela
Flink = Q/cos θ = 3002 N
Fuerza en B
F = 2·Flink·sin θ = 2·3000·tan θ = 200,1 N
Respuesta
F = 200,1 N
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 6,667 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 20/6 = 3,333 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −3,333 kN (hacia abajo)
Corte justo a la derecha del par
La parte izquierda contiene ahora RA y el par.
Mx = RA·a + M0 = −3,333·4 + 20 = 6,667 kN·m
Respuesta
Mx = 6,667 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 48 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2 + 4·5·2,5
RB = 110/5 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 22 = 28 kN
¿Dónde es V = 0?
V(2⁻) = RA − w·2 = 20 kN
V(2⁺) = 20 − 30 = −10 kN
El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.
Momento máximo
Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 28·2 − 4·2²/2 = 48 kN·m
Respuesta
Mmax = 48 kN·m
Se produce en x = 2 m desde A.
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 3,127 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm