Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla el ángulo θ entre los vectores a = (5, 4, 4) y b = (2, −2, 4), en grados.

a = (5, 4, 4)b = (2, −2, 4)

θ = °

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Para a = (4, 4, −6) y b = (1, 3, −3), halla la componente x (a × b)_x del producto vectorial a × b.

a = (4, 4, −6)b = (1, 3, −3)

(a × b)_x =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 10 kN/m en A hasta cero en B. Halla la reacción vertical R_B.

L = 5 mw₀ = 10 kN/m

R_B = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 6 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 10 m de A). Soporta una carga puntual P a 7 m de A. Halla el valor del momento de empotramiento M_A en el muro.

AC = 6 mAD = 10 mP = 10 kN en 7 m

M_A = kN·m

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 40 kN ↓

1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 4 mB está a 5 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 10 kN ←

F_AC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 4,8 m. Las patas se unen en el pasador C, a 3 m de altura, y el tirante horizontal DE está a 1,2 m sobre el suelo. En C actúa una carga de 8 kN. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.

P = 8 kNAB = 4,8 maltura de C = 3 maltura de DE = 1,2 m

C = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 4 m, y B está a 4 m de altura y a 0,6 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 20 kN en K, a 0,45 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 8 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal A_x en A.

P = 20 kNQ = 8 kNL = 4 mH = 4 mdistancia horizontal de A a B = 0,6 mdistancia horizontal de A a K = 0,45 m

A_x = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 55 kN en 1 mw = 10 kN/m de 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 140 × 18 mm, un alma de 170 mm de alto y 16 mm de espesor, y un ala inferior de 170 × 22 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 140 × 18 mmalma: 16 × 170 mmala inferior: 170 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: θ = 60,88 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = 5·2 + 4·(−2) + 4·4 = 18

Módulos

|a| = √(5² + 4² + 4²) = 7,55

|b| = √(2² + (−2)² + 4²) = 4,899

Ángulo

cos θ = 18/(7,55·4,899) = 0,4867

θ = arccos(0,4867) = 60,88°

Respuesta

θ = 60,88°

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: (a × b)_x = 6

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial, componente a componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−3) − (−6)·3 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·1 − 4·(−3) = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·3 − 4·1 = 8

Componente pedida

(a × b)_x = 6

Respuesta

(a × b)_x = 6

Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 8,333 kN

Resultante de la carga triangular

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1,667

R_B = 8,333 kN

R_A = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Respuesta

R_B = 8,333 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: M_A = 45 kN·m

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.

Tramo CD

La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 10·1

R_D = 2,5 kN

V_C = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Tramo AC

La fuerza en la rótula V_C actúa hacia abajo sobre AC (igual y opuesta a su acción sobre CD).

R_A = 7,5 = 7,5 kN

M_A = 7,5·6 = 45 kN·m

Respuesta

M_A = 45 kN·m

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro DH

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo D

CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 59,06 kN (T), BC: 59,06 kN (T), CD: 49,69 kN (T), DE: 49,69 kN (T), FG: 69,38 kN (C), GH: 69,38 kN (C), AF: 98,44 kN (C), HE: 82,81 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 17,19 kN (T), HC: 32,81 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: DH

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 9,792 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 − 10·4 → C_y = 39,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 39,17 = 15,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −39,17/0,9701 = −40,37 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40,37)·0,2425 = 9,792 kN

Respuesta

F_AC = 9,792 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: C = 6,667 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el tirante a partir de la pata BC

B_y = 4 kN

T = 4·2,4/1,8 = 5,333 kN

Componentes de la fuerza del pasador sobre BC

C_x = T = 5,333 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Módulo

C = √(5,333² + 4²) = 6,667 kN

Respuesta

C = 6,667 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: A_x = 0,7125 kN

Dirección de BC

BC = 5,25 m, cos = 0,6476, sin = 0,7619

Todo el bastidor: momentos respecto a A

F_BC·0,7619·4 = 20·0,45 + 8·4

F_BC = 13,45 kN

Equilibrio horizontal

A_x + 8 − 13,45·0,6476 = 0

A_x = 0,7125 kN → |A_x| = 0,7125 kN

Respuesta

A_x = 0,7125 kN

A_x apunta hacia la derecha.

9.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 7 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 16·3,5 − 8·3,5·1,75 = 7 kN·m

Respuesta

M_x = 7 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 39,38 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 10·4·2

R_B = 135/4 = 33,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 33,75 = 61,25 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 61,25·2,5 − 55·(2,5 − 1) − 10·2,5·1,25 = 39,38 kN·m

Respuesta

M_x = 39,38 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 27,99 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

alma: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·195 + 3600·90)/6600 = 137,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·30³/12 + 3000·(195 − 137,7)² = 1,007 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·180³/12 + 3600·(90 − 137,7)² = 1,792 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,007 × 10⁷ + 1,792 × 10⁷ = 2,799 × 10⁷ mm⁴ = 27,99 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 27,99 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 61,84 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2520 mm², y = 201 mm

alma: A = 2720 mm², y = 107 mm

ala inferior: A = 3740 mm², y = 11 mm

Centroide

ȳ = (2520·201 + 2720·107 + 3740·11)/8980 = 93,4 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 140·18³/12 + 2520·107,6² = 2,925 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·170³/12 + 2720·13,6² = 7,054 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 170·22³/12 + 3740·82,4² = 2,554 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,925 × 10⁷ + 7,054 × 10⁶ + 2,554 × 10⁷

I_x = 6,184 × 10⁷ mm⁴ = 61,84 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 61,84 × 10⁶ mm⁴

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