Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla la proyección escalar comp_b a de a = (−4, 6, 4) sobre b = (−1, 0, 1), es decir, la componente de a en la dirección de b.

a = (−4, 6, 4)b = (−1, 0, 1)

comp_b a =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Para a = (3, −1, 3) y b = (−4, 3, 1), halla la componente y (a × b)_y del producto vectorial a × b.

a = (3, −1, 3)b = (−4, 3, 1)

(a × b)_y =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 20 kN/m en A hasta cero en B. Además actúa una carga puntual P a 3,5 m de A. Halla la reacción vertical R_A.

L = 6 mw₀ = 20 kN/mP = 20 kN en 3,5 m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 4 mP = 20 kN en 1,5 mw = 6 kN/m de 2 a 3 m

R_A = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_BC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 20 kN

F_BC = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 20 kN ←

F_AB = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 6 m. Las patas se unen en el pasador C, a 4 m de altura, y el tirante horizontal DE está a 1,2 m sobre el suelo. En C actúa una carga de 10 kN. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.

P = 10 kNAB = 6 maltura de C = 4 maltura de DE = 1,2 m

C = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 3 m, y B está a 2,5 m de altura y a 0,45 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 10 kN en K, a 0,18 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 10 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal A_x en A.

P = 10 kNQ = 10 kNL = 3 mH = 2,5 mdistancia horizontal de A a B = 0,45 mdistancia horizontal de A a K = 0,18 m

A_x = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 2 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 15 kN en 2,5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 200 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 80 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 120 × 18 mm, un alma de 210 mm de alto y 8 mm de espesor, y un ala inferior de 160 × 24 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 120 × 18 mmalma: 8 × 210 mmala inferior: 160 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: comp_b a = 5,657

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = (−4)·(−1) + 6·0 + 4·1 = 8

Longitud de b

|b| = √((−1)² + 0² + 1²) = 1,414

Proyección escalar

comp_b a = a·b/|b| = 8/1,414 = 5,657

Respuesta

comp_b a = 5,657

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: (a × b)_y = −15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial, componente a componente

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·1 − 3·3 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−4) − 3·1 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − (−1)·(−4) = 5

Componente pedida

(a × b)_y = −15

Respuesta

(a × b)_y = −15

Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 48,33 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·20·6 = 60 kN

x̄ = L/3 = 2 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 20·3,5

R_B = 31,67 kN

R_A = 80 − 31,67 = 48,33 kN

Respuesta

R_A = 48,33 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 14,75 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,5 + 6·1·2,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 11,25 = 14,75 kN

Respuesta

R_A = 14,75 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_BC = −13,42 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 12 = 8 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,8944 = −13,42 kN

Respuesta

F_BC = −13,42 kN (compresión)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −24,6 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 − 20·4 → C_y = −12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −12 = 22 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −22/0,8944 = −24,6 kN

Respuesta

F_AB = −24,6 kN (compresión)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: C = 7,328 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el tirante a partir de la pata BC

B_y = 5 kN

T = 5·3/2,8 = 5,357 kN

Componentes de la fuerza del pasador sobre BC

C_x = T = 5,357 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Módulo

C = √(5,357² + 5²) = 7,328 kN

Respuesta

C = 7,328 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: A_x = 0,888 kN

Dirección de BC

BC = 3,571 m, cos = 0,7141, sin = 0,7001

Todo el bastidor: momentos respecto a A

F_BC·0,7001·3 = 10·0,18 + 10·2,5

F_BC = 12,76 kN

Equilibrio horizontal

A_x + 10 − 12,76·0,7141 = 0

A_x = −0,888 kN → |A_x| = 0,888 kN

Respuesta

A_x = 0,888 kN

El signo menos significa que A_x apunta hacia la izquierda.

9.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 20 kN, R₂ = 25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 20, M_C = 40, M_D = 45, M_E = 50 kN·m, M_F = 25, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 50 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 50 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2,5 + 10·5·2,5

R_B = 162,5/5 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32,5 = 32,5 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 32,5·2,5 − 10·2,5·1,25 = 50 kN·m

Respuesta

M_x = 50 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 2827·80)/(20000 − 2827) = 103,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·200³/12 + 20000·−3,293² = 66,88 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−23,29² = 2,17 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 64,71 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 81,69 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2160 mm², y = 243 mm

alma: A = 1680 mm², y = 129 mm

ala inferior: A = 3840 mm², y = 12 mm

Centroide

ȳ = (2160·243 + 1680·129 + 3840·12)/7680 = 102,6 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 120·18³/12 + 2160·140,4² = 4,266 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·210³/12 + 1680·26,44² = 7,348 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 160·24³/12 + 3840·90,56² = 3,168 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,266 × 10⁷ + 7,348 × 10⁶ + 3,168 × 10⁷

I_x = 8,169 × 10⁷ mm⁴ = 81,69 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 81,69 × 10⁶ mm⁴

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