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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el valor de k para el que los vectores a = (1, 6, 5) y b = (−6, −4, k) son perpendiculares.
a = (1, 6, 5)b = (−6, −4, k)
k =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (−2, −3, 0) y a b = (1, −2, 4) y tiene componente z positiva. Halla su componente y n̂y.
a = (−2, −3, 0)b = (1, −2, 4)n̂z > 0
n̂y =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
L = 5 mP1 = 30 kN en 2,5 mP2 = 35 kN en 4 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 6 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 1 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 3 m hasta el extremo libre en 8 m. Halla la reacción vertical RA, tomando positivo hacia arriba.
AB = 6 mAC = 8 mP = 50 kN en 1 mw = 6 kN/m de 3 a 8 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
B: 25 kN ↓G: 25 kN ↓
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 4 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 20 kNcarga horizontal = 5 kN ←
FAC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
En la abrazadera de rodilla mostrada, dos bielas iguales AB y BC están articuladas en B, y cada una forma 15° con la recta AC. En B se aplica una fuerza hacia abajo de 300 N. El deslizador C presiona una pieza. Despreciando el rozamiento y los pesos, halla la fuerza de apriete horizontal Q.
F = 300 Nθ = 15°
Q = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una prensa de rodilla tiene dos bielas iguales AB y BC, cada una de 200 mm de longitud entre pasadores. La articulación B está 8 mm por encima de la recta AC. ¿Qué fuerza hacia abajo F en B produce una fuerza de prensado horizontal de 2000 N en el deslizador C? Desprecia el rozamiento y los pesos.
Q = 2000 NAB = BC = 200 mmh = 8 mm
F = N
9.Cortante y momento flectorMedia
Halla el momento flector Mx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mP = 30 kN en 1 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 280 mm de ancho con dos alas verticales de 180 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 280 mmh = 180 mmt = 14 mm
ȳ = mm
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 45 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 30 × 30 mmcentro del agujero: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Disoluciones
1.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: k = 6
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
El producto escalar es igual a cero
a·b = 1·(−6) + 6·(−4) + 5·k = 0
−30 + 5·k = 0
Despeja k
k = −(−30)/5 = 6
Respuesta
k = 6
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: n̂y = 0,499
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial
(a × b)x = aybz − azby = (−3)·4 − 0·(−2) = −12
(a × b)y = azbx − axbz = 0·1 − (−2)·4 = 8
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·(−2) − (−3)·1 = 7
Normalizar
La componente z de a × b ya es positiva.
|a × b| = √((−12)² + 8² + 7²) = 16,03
n̂ = (−12, 8, 7)/16,03 = (−0,7485, 0,499, 0,4366)
n̂y = 0,499
Respuesta
n̂y = 0,499
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 22 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2,5 + 35·4
RB = 215/5 = 43 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 43 = 22 kN
Respuesta
RA = 22 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 44,17 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Resultante de la carga repartida
W = 6·5 = 30 kN, x̄ = (3 + 8)/2 = 5,5 m
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 30·5,5
RB = 215/6 = 35,83 kN
RA = 80 − 35,83 = 44,17 kN
Respuesta
RA = 44,17 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: miembro DH
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo D
CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 − 5·3 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 11,25 = 8,75 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Equilibrio del pasador B
2·Flink·sin 15° = 300
Flink = 579,6 N
Fuerza de apriete
Q = Flink·cos 15° = 300/(2·tan 15°) = 559,8 N
Respuesta
Q = 559,8 N
La relación de fuerzas Q/F = 1,866 crece sin límite a medida que las bielas se enderezan.
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: F = 160,1 N
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Ángulo de la biela
sin θ = 8/200 = 0,04, θ = 2,292°
Fuerza en la biela
Flink = Q/cos θ = 2002 N
Fuerza en B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2000·tan θ = 160,1 N
Respuesta
F = 160,1 N
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 54 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 60·1 − 12·1·0,5 = 54 kN·m
Respuesta
Mx = 54 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 40,5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1 + 12·4·2
RB = 126/4 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 31,5 = 46,5 kN
Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 46,5·1 − 12·1·0,5 = 40,5 kN·m
Respuesta
Mx = 40,5 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 55,82 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 280·14 = 3920 mm², y1 = 7 mm
dos alas: A2 = 2·14·166 = 4648 mm², y2 = 14 + 166/2 = 97 mm
Centroide
ȳ = (3920·7 + 4648·97)/8568 = 55,82 mm
Respuesta
ȳ = 55,82 mm
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 55,35 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.