Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla la proyección escalar comp_b a de a = (−5, 1, −2) sobre b = (4, 4, 1), es decir, la componente de a en la dirección de b.

a = (−5, 1, −2)b = (4, 4, 1)

comp_b a =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (5, −5, −3) y a b = (2, 5, 0) y tiene componente z positiva. Halla su componente y n̂_y.

a = (5, −5, −3)b = (2, 5, 0)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que decrece desde 8 kN/m en A hasta cero en B. Además actúa una carga puntual P a 8 m de A. Halla la reacción vertical R_A.

L = 10 mw₀ = 8 kN/mP = 15 kN en 8 m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 4 mP = 15 kN en 2 mw = 12 kN/m de 2 a 4 m

R_A = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 20 kN

F_AC = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 40 kN ↓D: 40 kN ↓H: 35 kN ←

1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro BG
13miembro DG

7.Bastidores y máquinasMedia

Una viga horizontal AB está articulada a una pared en A y apuntalada por el puntal CD, articulado a la pared en C, 0,8 m por debajo de A. Una carga de 3 kN cuelga en B. Desprecia los pesos. Halla el valor de la fuerza A en el pasador sobre la viga en A.

P = 3 kNAD = 0,6 mAB = 1,5 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

La viga AB de la ménsula de pared mostrada está articulada en A y apuntalada por el puntal CD (C está 1 m por debajo de A). La viga soporta una carga uniforme de 1,5 kN/m en toda su longitud y una carga puntual de 12 kN en su extremo libre B. Halla la fuerza F_CD en el puntal.

w = 1,5 kN/mP = 12 kNAD = 1,2 mAB = 3 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 3,5 m de A. Halla el momento flector M_A en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 80 kN en 3,5 mw = 6 kN/m de 0 a 5 m

M_A = kN·m

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 45 kN en 3 mw = 5 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 280 mm y un alma de 6 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico S_x para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 120 mmH = 280 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 160 × 16 mm, un alma de 220 mm de alto y 12 mm de espesor, y un ala inferior de 210 × 22 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 160 × 16 mmalma: 12 × 220 mmala inferior: 210 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: comp_b a = −3,133

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = (−5)·4 + 1·4 + (−2)·1 = −18

Longitud de b

|b| = √(4² + 4² + 1²) = 5,745

Proyección escalar

comp_b a = a·b/|b| = −18/5,745 = −3,133

Respuesta

comp_b a = −3,133

Negativa: a tiene una componente que apunta contra b.

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: n̂_y = −0,1556

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·0 − (−3)·5 = 15

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·2 − 5·0 = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·5 − (−5)·2 = 35

Normalizar

La componente z de a × b ya es positiva.

|a × b| = √(15² + (−6)² + 35²) = 38,55

n̂ = (15, −6, 35)/38,55 = (0,3891, −0,1556, 0,9079)

n̂_y = −0,1556

Respuesta

n̂_y = −0,1556

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 29,67 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·8·10 = 40 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3,333 + 15·8

R_B = 25,33 kN

R_A = 55 − 25,33 = 29,67 kN

Respuesta

R_A = 29,67 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 13,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 12·2·3

R_B = 102/4 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25,5 = 13,5 kN

Respuesta

R_A = 13,5 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AC = 10 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,4472 = −11,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,18)·0,8944 = 10 kN

Respuesta

F_AC = 10 kN (tracción)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro CG

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo C

BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 3,75 kN (T), BC: 12,5 kN (T), CD: 12,5 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 38,75 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 64,58 kN (C), HE: 35,42 kN (C), BF: 51,67 kN (T), CG: 0, DH: 28,33 kN (T), BG: 14,58 kN (C), DG: 14,58 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: CG

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: A = 7,204 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el puntal

F_CD = 3·1,5/(0,8·0,6) = 9,375 kN

Componentes en A

A_x = F_CD·cos α = 5,625 kN (hacia la pared)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −4,5 kN

Módulo

A = √(5,625² + −4,5²) = 7,204 kN

Respuesta

A = 7,204 kN

Una A_y negativa significa que la pared tira de la viga hacia abajo en A.

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_CD = 55,65 kN

Resultante de la carga uniforme

w·L = 1,5·3 = 4,5 kN en 1,5 m

Momentos respecto a A para la viga

F_CD·0,6402·1,2 = 4,5·1,5 + 12·3 = 42,75 kN·m

F_CD = 55,65 kN

Respuesta

F_CD = 55,65 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: M_A = −355 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −80·3,5 = −280 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −280 − 75 = −355 kN·m

Respuesta

M_A = −355 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 18,75 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·3 + 5·4·2

R_B = 175/4 = 43,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 43,75 = 21,25 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 21,25·1 − 5·1·0,5 = 18,75 kN·m

Respuesta

M_x = 18,75 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: S_x = 676,1 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 280 − 2·22 = 236 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·280³ − 114·236³)/12

I_x = 9,465 × 10⁷ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 9,465 × 10⁷/140

S_x = 676068 mm³ = 676,1 × 10³ mm³

Respuesta

S_x = 676,1 × 10³ mm³

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 107,5 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2560 mm², y = 250 mm

alma: A = 2640 mm², y = 132 mm

ala inferior: A = 4620 mm², y = 11 mm

Centroide

ȳ = (2560·250 + 2640·132 + 4620·11)/9820 = 105,8 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 160·16³/12 + 2560·144,2² = 5,326 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·220³/12 + 2640·26,16² = 1,246 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 210·22³/12 + 4620·94,84² = 4,174 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,326 × 10⁷ + 1,246 × 10⁷ + 4,174 × 10⁷

I_x = 1,075 × 10⁸ mm⁴ = 107,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 107,5 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics