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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el ángulo θ entre los vectores a = (−3, −3, −6) y b = (2, −6, −1), en grados.
a = (−3, −3, −6)b = (2, −6, −1)
θ = °
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (4, 4, 5), b = (0, −3, 4) y c = (−3, −1, −4).
a = (4, 4, 5)b = (0, −3, 4)c = (−3, −1, −4)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.
AB = 3 mAC = 4 mP1 = 60 kN en 0,5 mP2 = 70 kN en 4 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 2,5 m de A, inclinada 40° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 0,5 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.
L = 5 mP = 65 kN en 2,5 m, θ = 40°Q = 65 kN en 0,5 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 6 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 60 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 5 m, con su pasador del vértice C a 3,6 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 20 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,25 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.
P = 20 kNAB = 5 maltura de C = 3,6 maltura de DE = 1,2 mdistancia horizontal de A a K = 1,25 m
T = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2 m, con su pasador del vértice C a 4,5 m de altura y el tirante horizontal DE a 2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 12 kN actúa sobre la pata AC en K, a 0,6 m (en horizontal) de A. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 12 kNAB = 2 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 2 mdistancia horizontal de A a K = 0,6 m
C = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 10 mP1 = 65 kN en 2 mP2 = 10 kN en 3 m
Mmax = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida sobre parte de su luz. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 8 mw = 16 kN/m de 0 a 4 m
Mmax = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 220 mm de ancho con dos alas verticales de 100 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 20 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
b = 220 mmh = 100 mmt = 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 30 × 40 mmcentro del agujero: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Disoluciones
1.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: θ = 67,51 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−3)·2 + (−3)·(−6) + (−6)·(−1) = 18
Módulos
|a| = √((−3)² + (−3)² + (−6)²) = 7,348
|b| = √(2² + (−6)² + (−1)²) = 6,403
Ángulo
cos θ = 18/(7,348·6,403) = 0,3825
θ = arccos(0,3825) = 67,51°
Respuesta
θ = 67,51°
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 29
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·(−4) − 4·(−1) = 16
(b × c)y = bzcx − bxcz = 4·(−3) − 0·(−4) = −12
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·(−1) − (−3)·(−3) = −9
Producto escalar con a
a·(b × c) = 4·16 + 4·(−12) + 5·(−9) = −29
V = |−29| = 29
Respuesta
V = 29
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 103,3 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A
Antihorario positivo.
ΣMA = 0: RB·3 = 60·0,5 + 70·4
RB = 310/3 = 103,3 kN
Equilibrio vertical
RA = 60 + 70 − 103,3 = 26,67 kN
Respuesta
RB = 103,3 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 93,71 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 20 = 40 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo D
CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Todo el bastidor: momentos respecto a A
By = 20·1,25/5 = 5 kN
Pata BC: momentos respecto a C
5·2,5 = T·2,4
T = 5,208 kN
Respuesta
T = 5,208 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 3,877 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Reacción de apoyo en B
By = 12·0,6/2 = 3,6 kN
Fuerza en el tirante
T = 3,6·1/2,5 = 1,44 kN
Fuerza del pasador sobre BC
Cx = 1,44 kN, Cy = −3,6 kN
C = √(1,44² + 3,6²) = 3,877 kN
Respuesta
C = 3,877 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 118 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·10 = 65·2 + 10·3
RB = 160/10 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 16 = 59 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·2 = 59·2 = 118 kN·m
bajo P2: M = RB·7 = 16·7 = 112 kN·m
Valor máximo
Mmax = 118 kN·m (bajo P1)
Respuesta
Mmax = 118 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 72 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 16·4·2
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 16 = 48 kN
Cortante nulo
El cortante empieza en RA, se mantiene constante en los tramos descargados y disminuye con pendiente w dentro de la carga.
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 220·20 = 4400 mm², y1 = 10 mm
dos alas: A2 = 2·20·80 = 3200 mm², y2 = 20 + 80/2 = 60 mm
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 1200·105)/(30000 − 1200) = 73,75 mm