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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla la proyección escalar compb a de a = (−7, 7, 7) sobre b = (−3, −1, −5), es decir, la componente de a en la dirección de b.
a = (−7, 7, 7)b = (−3, −1, −5)
compb a =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (5, −1, 5), b = (−4, 3, −4) y c = (−4, −5, −3).
a = (5, −1, 5)b = (−4, 3, −4)c = (−4, −5, −3)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 4 mP1 = 40 kN en 2 mP2 = 40 kN en 2,5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 4 mP = 60 kN en 2,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 m
RB = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 3 mB está a 6 m de Acarga vertical = 25 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 4 mB está a 6 m de Acarga vertical = 45 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FAB = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2 m. Las patas se unen en el pasador C, a 2,5 m de altura, y el tirante horizontal DE está a 1,5 m sobre el suelo. En C actúa una carga de 12 kN. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 12 kNAB = 2 maltura de C = 2,5 maltura de DE = 1,5 m
C = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 3 m, y B está a 2,5 m de altura y a 0,9 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 10 kN en K, a 0,36 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 8 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal Ax en A.
P = 10 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 2,5 mdistancia horizontal de A a B = 0,9 mdistancia horizontal de A a K = 0,36 m
Ax = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 25 kN·m en x = 6 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mM0 = 25 kN·m en sentido horario, en 6 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
55 kN @ 0 m55 kN @ 12 m45 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 180 mm, una altura exterior H = 275 mm y un espesor de pared uniforme t = 10 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.
B = 180 mmH = 275 mmt = 10 mm
r = mm
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo Mallow que puede soportar la viga.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−7)·(−3) + 7·(−1) + 7·(−5) = −21
Longitud de b
|b| = √((−3)² + (−1)² + (−5)²) = 5,916
Proyección escalar
compb a = a·b/|b| = −21/5,916 = −3,55
Respuesta
compb a = −3,55
Negativa: a tiene una componente que apunta contra b.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 11
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2 + 40·2,5
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45 = 35 kN
Respuesta
RB = 45 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 53,5 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·2,5 + 8·4·2
RB = 214/4 = 53,5 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 53,5 = 38,5 kN
Respuesta
RB = 53,5 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −13,98 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 25·6 → Cy = 18,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 18,75 = 6,25 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 3/6,708 = 0,4472
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,25/0,4472 = −13,98 kN
Respuesta
FAB = −13,98 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −38,31 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·6 − 20·4 → Cy = 23,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 23,75 = 21,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 4/7,211 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −21,25/0,5547 = −38,31 kN
Respuesta
FAB = −38,31 kN (compresión)
7.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 8,485 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Fuerza en el tirante a partir de la pata BC
By = 6 kN
T = 6·1/1 = 6 kN
Componentes de la fuerza del pasador sobre BC
Cx = T = 6 kN, Cy = −By = −6 kN
Módulo
C = √(6² + 6²) = 8,485 kN
Respuesta
C = 8,485 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: Ax = 1,392 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Dirección de BC
BC = 3,265 m, cos = 0,6432, sin = 0,7657
Todo el bastidor: momentos respecto a A
FBC·0,7657·3 = 10·0,36 + 8·2,5
FBC = 10,27 kN
Equilibrio horizontal
Ax + 8 − 10,27·0,6432 = 0
Ax = −1,392 kN → |Ax| = 1,392 kN
Respuesta
Ax = 1,392 kN
El signo menos significa que Ax apunta hacia la izquierda.
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 10 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 25/10 = 2,5 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −2,5 kN (hacia abajo)
Corte justo a la derecha del par
La parte izquierda contiene ahora RA y el par.
Mx = RA·a + M0 = −2,5·6 + 25 = 10 kN·m
Respuesta
Mx = 10 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 51,67 kN, R2 = 103,3 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −110, MC = −116,7, MD = −123,3, ME = −220 kN·m, MF = −110, MG = 0
Respuesta
Marca E: ME = −220 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: r = 102,2 mm
Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.
Área neta y momento de inercia neto
b = 160 mm, h = 255 mm
A = BH − bh = 180·275 − 160·255 = 8700 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 9,087 × 10⁷ mm⁴
Radio de giro
r = √(I/A) = √(9,087 × 10⁷/8700) = 102,2 mm
Respuesta
r = 102,2 mm
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Mallow = 6,138 kN·m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.