Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla el valor de k para el que los vectores a = (−6, 6, −2) y b = (k, −2, −3) son perpendiculares.

a = (−6, 6, −2)b = (k, −2, −3)

k =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Una fuerza F = (0, −40, −20) N actúa en el punto A(−1, −4, −2). Las coordenadas están en metros. Halla el módulo |M| del momento de la fuerza respecto a el origen O(0, 0, 0).

F = (0, −40, −20) NA(−1, −4, −2) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Reacciones en vigasMedia

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 8 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Halla la reacción vertical R_A, tomando positivo hacia arriba.

AB = 8 mAC = 10 mP₁ = 25 kN en 6 mP₂ = 15 kN en 10 m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_B.

L = 8 mP = 15 kN en 5 mw = 4 kN/m de 0 a 7 m

R_B = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 6 maltura = 4 mB está a 2 m de Acarga vertical = 25 kN

F_AB = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 3 mB está a 1 m de Acarga vertical = 50 kNcarga horizontal = 25 kN →

F_AB = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 4,8 m, con su pasador del vértice C a 3 m de altura y el tirante horizontal DE a 0,8 m sobre el suelo. Una carga vertical de 8 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,8 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.

P = 8 kNAB = 4,8 maltura de C = 3 maltura de DE = 0,8 mdistancia horizontal de A a K = 1,8 m

T = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2 m. Las patas se unen en el pasador C, a 4 m de altura, y están unidas por la barra horizontal DE a 1,8 m. En C actúa una fuerza horizontal de 6 kN hacia la derecha. Halla la tensión T en el tirante.

P = 6 kNAB = 2 maltura de C = 4 maltura de DE = 1,8 m

T = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 6 m10 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 55 kN en 5 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 160 mm y un diámetro interior d = 128 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

D = 160 mmd = 128 mm

r = mm

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_superior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: k = −1

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

El producto escalar es igual a cero

a·b = (−6)·k + 6·(−2) + (−2)·(−3) = 0

−6 + (−6)·k = 0

Despeja k

k = −(−6)/(−6) = −1

Respuesta

k = −1

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: |M| = 44,72 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vector de posición de O a A

r = A − O = (−1, −4, −2) − (0, 0, 0) = (−1, −4, −2) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−20) − (−2)·(−40) = 0 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·0 − (−1)·(−20) = −20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−40) − (−4)·0 = 40 N·m

Módulo

|M| = √(0² + (−20)² + 40²) = 44,72 N·m

Respuesta

|M| = 44,72 N·m

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 2,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 15·10

R_B = 300/8 = 37,5 kN

Equilibrio vertical

R_A = 25 + 15 − 37,5 = 2,5 kN

Respuesta

R_A = 2,5 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 21,63 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, aplicada en x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 4·7·3,5

R_B = 173/8 = 21,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 43 − 21,63 = 21,38 kN

Respuesta

R_B = 21,63 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −18,63 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,67/0,8944 = −18,63 kN

Respuesta

F_AB = −18,63 kN (compresión)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −19,76 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 + 25·3 → C_y = 31,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 31,25 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,9487 = −19,76 kN

Respuesta

F_AB = −19,76 kN (compresión)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 3,273 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Todo el bastidor: momentos respecto a A

B_y = 8·1,8/4,8 = 3 kN

Pata BC: momentos respecto a C

3·2,4 = T·2,2

T = 3,273 kN

Respuesta

T = 3,273 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 5,455 kN

Todo el bastidor: momentos respecto a A

B_y·2 = 6·4

B_y = 12 kN

Pata BC: momentos respecto a C

12·1 = T·2,2

T = 5,455 kN

Respuesta

T = 5,455 kN

Una T positiva significa que el tirante está a tracción, como se supuso.

9.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 35 kN, R₂ = 35 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 140, M_D = 190 kN·m, M_E = 140, M_F = 70, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 190 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 212,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 6·10·5

R_B = 575/10 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Corta en x = 5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 57,5·5 − 6·5·2,5 = 212,5 kN·m

Respuesta

M_x = 212,5 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 51,22 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

A = π(D² − d²)/4 = 7238 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,899 × 10⁷ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(1,899 × 10⁷/7238) = 51,22 mm

Respuesta

r = 51,22 mm

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 56,5 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

alma: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 2400·150)/4600 = 224,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·10³/12 + 2200·(305 − 224,1)² = 1,441 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·300³/12 + 2400·(150 − 224,1)² = 3,119 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,441 × 10⁷ + 3,119 × 10⁷ = 4,559 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 310 − 224,1 = 85,87 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·85,87/4,559 × 10⁷ = 56,5 MPa

Respuesta

σ_superior = 56,5 MPa

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