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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el ángulo θ entre los vectores a = (−2, −3, −3) y b = (−6, 4, 4), en grados.
a = (−2, −3, −3)b = (−6, 4, 4)
θ = °
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Para a = (−1, −5, 6) y b = (4, 2, −6), halla la componente x (a × b)x del producto vectorial a × b.
a = (−1, −5, 6)b = (4, 2, −6)
(a × b)x =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 1,5 m de A y un par antihorario M a 3,5 m de A. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.
L = 4 mP = 30 kN en 1,5 mM = 60 kN·m (antihorario) en 3,5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 10 mP = 45 kN en 1 mw = 2 kN/m de 7 a 9 m
RB = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ←
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC
7.Bastidores y máquinasMedia
La palanca acodada mostrada gira alrededor del pasador O. Una fuerza vertical de 50 N en A (a 150 mm de O) se equilibra con una fuerza horizontal en B (a 150 mm por encima de O). Halla el valor de la reacción FO en el pasador.
F = 50 NOA = 150 mmOB = 150 mm
FO = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 8 m, y B está a 2 m de altura y a 2,4 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 12 kN en K, a 1,2 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 4 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal Ax en A.
P = 12 kNQ = 4 kNL = 8 mH = 2 mdistancia horizontal de A a B = 2,4 mdistancia horizontal de A a K = 1,2 m
Ax = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 4 mP1 = 15 kN en 2,5 mP2 = 70 kN en 3 m
Mmax = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
10 kN @ 0 m10 kN @ 12 m20 kN @ 6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 160 mm de ancho con dos alas verticales de 190 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 12 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 160 mmh = 190 mmt = 12 mm
ȳ = mm
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 40 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo Mallow que puede soportar la viga.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−2)·(−6) + (−3)·4 + (−3)·4 = −12
Módulos
|a| = √((−2)² + (−3)² + (−3)²) = 4,69
|b| = √((−6)² + 4² + 4²) = 8,246
Ángulo
cos θ = −12/(4,69·8,246) = −0,3103
θ = arccos(−0,3103) = 108,1°
Respuesta
θ = 108,1°
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: (a × b)x = 18
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial, componente a componente
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·(−6) − 6·2 = 18
(a × b)y = azbx − axbz = 6·4 − (−1)·(−6) = 18
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·2 − (−5)·4 = 18
Componente pedida
(a × b)x = 18
Respuesta
(a × b)x = 18
Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = −3,75 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A
Antihorario positivo.
ΣMA = 0: RB·4 − 30·1,5 + 60 = 0
RB = −15/4 = −3,75 kN
Equilibrio vertical
RA = 30 − (−3,75) = 33,75 kN
Respuesta
RB = −3,75 kN
Una reacción negativa actúa hacia abajo.
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 7,7 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, aplicada en x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 45·1 + 2·2·8
RB = 77/10 = 7,7 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 7,7 = 41,3 kN
Respuesta
RB = 7,7 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAC = 22 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 → Cy = 11 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 11 = 44 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo B
AB y BC están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Fuerza en B
Q = 50·150/150 = 50 N
Reacción en el pasador
Ox = 50 N, Oy = 50 N
FO = √(50² + 50²) = 70,71 N
Respuesta
FO = 70,71 N
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: Ax = 3,84 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Dirección de BC
BC = 5,946 m, cos = 0,9417, sin = 0,3363
Todo el bastidor: momentos respecto a A
FBC·0,3363·8 = 12·1,2 + 4·2
FBC = 8,325 kN
Equilibrio horizontal
Ax + 4 − 8,325·0,9417 = 0
Ax = 3,84 kN → |Ax| = 3,84 kN
Respuesta
Ax = 3,84 kN
Ax apunta hacia la derecha.
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 61,88 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·4 = 15·2,5 + 70·3
RB = 247,5/4 = 61,88 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 61,88 = 23,13 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·2,5 = 23,13·2,5 = 57,81 kN·m
bajo P2: M = RB·1 = 61,88·1 = 61,88 kN·m
Valor máximo
Mmax = 61,88 kN·m (bajo P2)
Respuesta
Mmax = 61,88 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 13,33 kN, R2 = 26,67 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = −20, MC = −13,33, MD = −6,667, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0
Respuesta
Marca E: ME = −40 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 71,54 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 160·12 = 1920 mm², y1 = 6 mm
dos alas: A2 = 2·12·178 = 4272 mm², y2 = 12 + 178/2 = 101 mm
Centroide
ȳ = (1920·6 + 4272·101)/6192 = 71,54 mm
Respuesta
ȳ = 71,54 mm
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Mallow = 3,743 kN·m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.