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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla la proyección escalar compb a de a = (4, 2, 6) sobre b = (5, −4, 0), es decir, la componente de a en la dirección de b.
a = (4, 2, 6)b = (5, −4, 0)
compb a =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (−1, 5, 5), b = (0, 3, 1) y c = (0, 5, −1).
a = (−1, 5, 5)b = (0, 3, 1)c = (0, 5, −1)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
L = 5 mP1 = 55 kN en 2 mP2 = 40 kN en 4 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RB.
L = 5 mP = 50 kN en 1 mw = 4 kN/m de 3 a 5 m
RB = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 3 mB está a 3 m de Acarga vertical = 25 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
B: 20 kN ↓F: 15 kN ↓F: 25 kN →
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro BG
13miembro DG
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 4,8 m, con su pasador del vértice C a 4 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,8 m sobre el suelo. Una carga vertical de 10 kN actúa sobre la pata AC en K, a 0,6 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.
P = 10 kNAB = 4,8 maltura de C = 4 maltura de DE = 1,8 mdistancia horizontal de A a K = 0,6 m
T = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 3 m, y B está a 4 m de altura y a 1,35 m a la derecha de A. El elemento AB soporta una carga vertical de 15 kN en K, a 0,54 m (en horizontal) de A, y una carga horizontal de 8 kN hacia la derecha actúa en B sobre el elemento AB. Halla el valor de la reacción horizontal Ax en A.
P = 15 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 4 mdistancia horizontal de A a B = 1,35 mdistancia horizontal de A a K = 0,54 m
Ax = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 4 m de A. Halla el momento flector Mx en la sección x = 1,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mP = 35 kN en 4 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 8 mP = 35 kN en 1 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 100 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 168 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 240 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro del agujero: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Disoluciones
1.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: compb a = 1,874
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = 4·5 + 2·(−4) + 6·0 = 12
Longitud de b
|b| = √(5² + (−4)² + 0²) = 6,403
Proyección escalar
compb a = a·b/|b| = 12/6,403 = 1,874
Respuesta
compb a = 1,874
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 8
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−1) − 1·5 = −8
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·0 − 0·(−1) = 0
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·5 − 3·0 = 0
Producto escalar con a
a·(b × c) = (−1)·(−8) + 5·0 + 5·0 = 8
V = |8| = 8
Respuesta
V = 8
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 41 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2 + 40·4
RB = 270/5 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 54 = 41 kN
Respuesta
RA = 41 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RB = 16,4 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·1 + 4·2·4
RB = 82/5 = 16,4 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 16,4 = 41,6 kN
Respuesta
RB = 16,4 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = −18,03 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 25·3 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 15 = 10 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo C
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Todo el bastidor: momentos respecto a A
By = 10·0,6/4,8 = 1,25 kN
Pata BC: momentos respecto a C
1,25·2,4 = T·2,2
T = 1,364 kN
Respuesta
T = 1,364 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: Ax = 2,486 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Dirección de BC
BC = 4,327 m, cos = 0,3813, sin = 0,9244
Todo el bastidor: momentos respecto a A
FBC·0,9244·3 = 15·0,54 + 8·4
FBC = 14,46 kN
Equilibrio horizontal
Ax + 8 − 14,46·0,3813 = 0
Ax = −2,486 kN → |Ax| = 2,486 kN
Respuesta
Ax = 2,486 kN
El signo menos significa que Ax apunta hacia la izquierda.
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = −106,3 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Quédate con la parte del extremo libre
P: −35·2,5 = −87,5 kN·m
w: −6·2,5²/2 = −18,75 kN·m
Mx = −87,5 − 18,75 = −106,3 kN·m
Respuesta
Mx = −106,3 kN·m
Negativo significa tracción en la cara superior.
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 65,63 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aplicada en x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·1 + 10·8·4
RB = 355/8 = 44,38 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 44,38 = 70,63 kN
Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 70,63·1 − 10·1·0,5 = 65,63 kN·m
Respuesta
Mx = 65,63 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 55,56 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 706,9·105)/(30000 − 706,9) = 74,28 mm
Placa completa respecto a ȳ
200·150³/12 + 30000·0,7239² = 56,27 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 55,56 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 55,56 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 110,6 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (24000·120 − 1800·168)/(24000 − 1800) = 116,1 mm