Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla la proyección escalar comp_b a de a = (−6, 6, −6) sobre b = (−6, −2, −2), es decir, la componente de a en la dirección de b.

a = (−6, 6, −6)b = (−6, −2, −2)

comp_b a =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (−3, −5, 5), b = (−1, 3, −3) y c = (−3, 3, 1).

a = (−3, −5, 5)b = (−1, 3, −3)c = (−3, 3, 1)

V =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que crece desde cero en A hasta 10 kN/m en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 4 mw₀ = 10 kN/m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 4 mP = 25 kN en 2 mw = 8 kN/m de 2 a 3 m

R_A = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

B: 15 kN ↓C: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 10 kN ↓

1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_BC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 5 maltura = 4 mB está a 3 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor mostrado tiene pasadores en A, B y C; A y C están fijos al suelo, separados 8 m, y B está a 2 m sobre el suelo y a 4,8 m a la derecha de A. Una carga vertical de 15 kN actúa sobre el elemento AB en K, a 1,2 m (en horizontal) de A. Halla la fuerza F_BC en el elemento BC.

P = 15 kNL = 8 mH = 2 mdistancia horizontal de A a B = 4,8 mdistancia horizontal de A a K = 1,2 m

F_BC = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

Una pluma horizontal uniforme AB de peso 1,5 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde B hasta el punto C de la pared, 1,5 m por encima de A. En B cuelga una carga de 5 kN. Halla el valor de la reacción A en el pasador.

W = 5 kNW_b = 1,5 kNAB = 6 mAC = 1,5 m

A = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P₁ entre los apoyos y una carga puntual P₂ en C. Halla el momento flector M_x bajo la carga P₁. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9 mP₁ = 45 kN en 1 mP₂ = 30 kN en 9 mapoyos en x = 0 y x = 8 m

M_x = kN·m

10.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 0 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 240 mm de ancho con dos alas verticales de 80 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 240 mmh = 80 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 25 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_inferior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: comp_b a = 5,427

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = (−6)·(−6) + 6·(−2) + (−6)·(−2) = 36

Longitud de b

|b| = √((−6)² + (−2)² + (−2)²) = 6,633

Proyección escalar

comp_b a = a·b/|b| = 36/6,633 = 5,427

Respuesta

comp_b a = 5,427

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: V = 56

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·1 − (−3)·3 = 12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−3) − (−1)·1 = 10

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·3 − 3·(−3) = 6

Producto escalar con a

a·(b × c) = (−3)·12 + (−5)·10 + 5·6 = −56

V = |−56| = 56

Respuesta

V = 56

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 6,667 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,667

R_B = 13,33 kN

R_A = 20 − 13,33 = 6,667 kN

Respuesta

R_A = 6,667 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 15,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.

Diagrama de cuerpo libre

Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 8·1·2,5

R_B = 70/4 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 17,5 = 15,5 kN

Respuesta

R_A = 15,5 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro DH

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo D

CD y DE están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 43,33 kN (T), FG: 86,67 kN (C), GH: 86,67 kN (C), AF: 87,5 kN (C), HE: 54,17 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 20,83 kN (T), HC: 54,17 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: DH

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_BC = 20,12 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 − 30·4 → C_y = −18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −18 = 28 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−18/0,8944 = 20,12 kN

Respuesta

F_BC = 20,12 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_BC = 4,245 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Elemento de dos fuerzas BC

BC = √(3,2² + 2²) = 3,774 m

Todo el bastidor: momentos respecto a A

El suelo empuja a BC en C a lo largo de CB; su componente horizontal pasa por A, solo la vertical tiene momento.

F_BC·(2/3,774)·8 = 15·1,2

F_BC = 4,245 kN (compresión)

Respuesta

F_BC = 4,245 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: A = 23,01 kN

Tensión del cable

T = (5 + 1,5/2)/0,2425 = 23,71 kN

Componentes en A

A_x = T·cos β = 23 kN

A_y = 5 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN

Módulo

A = √(23² + 0,75²) = 23,01 kN

Respuesta

A = 23,01 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 35,63 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 30·9

R_B = 315/8 = 39,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 39,38 = 35,63 kN

Corta bajo P₁ y quédate con la parte izquierda

M_x = R_A·1 = 35,63·1 = 35,63 kN·m

Respuesta

M_x = 35,63 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 71,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −76,67, M_D = −93,33, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −110 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 1,66 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 240·8 = 1920 mm², y₁ = 4 mm

dos alas: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

Centroide

ȳ = (1920·4 + 1152·44)/3072 = 19 mm

Teorema de Steiner

base: 240·8³/12 + 1920·(4 − 19)² = 442240 mm⁴

dos alas: 2·8·72³/12 + 1152·(44 − 19)² = 1,218 × 10⁶ mm⁴

I_x = 442240 + 1,218 × 10⁶

I_x = 1,66 × 10⁶ mm⁴ = 1,66 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 1,66 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 76,93 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

alma: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·235 + 4400·110)/11600 = 187,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·30³/12 + 7200·(235 − 187,6)² = 1,673 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·220³/12 + 4400·(110 − 187,6)² = 4,423 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,673 × 10⁷ + 4,423 × 10⁷ = 6,096 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 187,6 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·187,6/6,096 × 10⁷ = 76,93 MPa

Respuesta

σ_inferior = 76,93 MPa

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Estática: pack de repaso

1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Método

Reacciones en vigas

Método

Armaduras: método de los nudos

Método

Bastidores y máquinas

Método

Cortante y momento flector

Método

Centroide y momento de inercia

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3Disoluciones

Producto escalar

Longitud de b

Proyección escalar

Respuesta

Producto vectorial b × c

Producto escalar con a

Respuesta

Resultante de la carga triangular

Equilibrio

Respuesta

Diagrama de cuerpo libre

Equilibrio

Respuesta

Nudo D

Comprueba con el método de los nudos

Respuesta

Reacciones en los apoyos

Nudo C

Respuesta

Elemento de dos fuerzas BC

Todo el bastidor: momentos respecto a A

Respuesta

Tensión del cable

Componentes en A

Módulo

Respuesta

Reacciones en los apoyos

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Respuesta

Reacciones en los apoyos

Momento flector en cada marca

Respuesta

Divide en rectángulos

Centroide

Teorema de Steiner

Respuesta

Divide en dos rectángulos

Centroide

Teorema de Steiner

Tensión de flexión

Respuesta

Corta bajo P₁ y quédate con la parte izquierda