Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Una fuerza constante F = (30, 10, −25) N actúa sobre un objeto mientras este se mueve en línea recta del punto A(1, 3, 3) al punto B(−3, −2, 2). Las coordenadas están en metros. Halla el trabajo W realizado por la fuerza.

F = (30, 10, −25) NA(1, 3, 3) mB(−3, −2, 2) m

W = J

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

Una fuerza F = (0, −10, −50) N actúa en el punto A(2, 0, −1). Las coordenadas están en metros. Halla la componente x M_x del momento de la fuerza respecto a el punto O(2, −1, −2).

F = (0, −10, −50) NA(2, 0, −1) mO(2, −1, −2) m

M_x = N·m

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 3,5 m de A y un par antihorario M a 0,5 m de A. Halla la reacción vertical R_B, tomando positivo hacia arriba.

L = 5 mP = 75 kN en 3,5 mM = 20 kN·m (antihorario) en 0,5 m

R_B = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 2 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 1,5 m hasta el extremo libre en 5 m. Halla la reacción vertical R_B, tomando positivo hacia arriba.

AB = 3 mAC = 5 mP = 35 kN en 2 mw = 12 kN/m de 1,5 a 5 m

R_B = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.

D: 10 kN ↓G: 25 kN ↓

1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro FC
13miembro HC

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_BC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 10 kNcarga horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 3,2 m, con su pasador del vértice C a 4,5 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 20 kN actúa sobre la pata AC en K, a 0,96 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.

P = 20 kNAB = 3,2 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 1,2 mdistancia horizontal de A a K = 0,96 m

T = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

La viga AB de la ménsula de pared mostrada está articulada en A y apuntalada por el puntal CD (C está 1,2 m por debajo de A). La viga soporta una carga uniforme de 3 kN/m en toda su longitud y una carga puntual de 4 kN en su extremo libre B. Halla la fuerza F_CD en el puntal.

w = 3 kN/mP = 4 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 5,5 m

V_x = kN

10.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 55 kN en 4 mw = 4 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 15 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_inferior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: W = −145 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Desplazamiento

d = B − A = (−3, −2, 2) − (1, 3, 3) = (−4, −5, −1) m

Trabajo

W = F·d = 30·(−4) + 10·(−5) + (−25)·(−1) = −145 J

Respuesta

W = −145 J

Trabajo negativo: la fuerza actúa sobre todo en contra del movimiento.

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: M_x = −40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vector de posición de O a A

r = A − O = (2, 0, −1) − (2, −1, −2) = (0, 1, 1) m

Momento M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−50) − 1·(−10) = −40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·0 − 0·(−50) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−10) − 1·0 = 0 N·m

Componente pedida

M_x = −40 N·m

Respuesta

M_x = −40 N·m

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 48,5 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Momentos respecto a A

Antihorario positivo.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 75·3,5 + 20 = 0

R_B = 242,5/5 = 48,5 kN

Equilibrio vertical

R_A = 75 − 48,5 = 26,5 kN

Respuesta

R_B = 48,5 kN

Una reacción negativa actúa hacia abajo.

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 68,83 kN

Resultante de la carga repartida

W = 12·3,5 = 42 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 35·2 + 42·3,25

R_B = 206,5/3 = 68,83 kN

R_A = 77 − 68,83 = 8,167 kN

Respuesta

R_B = 68,83 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: miembro BF

Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.

Nudo B

AB y BC están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Comprueba con el método de los nudos

Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).

AB: 15 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 10 kN (T), FC: 21,21 kN (T), HC: 14,14 kN (T)

Respuesta

Miembro de fuerza nula: BF

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_BC = 5,59 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 − 25·2 → C_y = −5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −5 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Nudo C

El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5/0,8944 = 5,59 kN

Respuesta

F_BC = 5,59 kN (tracción)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: T = 2,909 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Todo el bastidor: momentos respecto a A

B_y = 20·0,96/3,2 = 6 kN

Pata BC: momentos respecto a C

6·1,6 = T·3,3

T = 2,909 kN

Respuesta

T = 2,909 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_CD = 11,05 kN

Resultante de la carga uniforme

w·L = 3·1,5 = 4,5 kN en 0,75 m

Momentos respecto a A para la viga

F_CD·0,7071·1,2 = 4,5·0,75 + 4·1,5 = 9,375 kN·m

F_CD = 11,05 kN

Respuesta

F_CD = 11,05 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −12,5 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 15 − 5·5,5 = −12,5 kN

Respuesta

V_x = −12,5 kN

10.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 34 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 4·5·2,5

R_B = 270/5 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 54 = 21 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 21·2 − 4·2·1 = 34 kN·m

Respuesta

M_x = 34 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 104,7 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

alma: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·295 + 5040·140)/12240 = 231,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·30³/12 + 7200·(295 − 231,2)² = 2,987 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 231,2)² = 7,483 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,987 × 10⁷ + 7,483 × 10⁷ = 1,047 × 10⁸ mm⁴ = 104,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 104,7 × 10⁶ mm⁴

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 49,87 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

alma: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·252,5 + 3840·120)/10340 = 203,3 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·25³/12 + 6500·(252,5 − 203,3)² = 1,608 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·240³/12 + 3840·(120 − 203,3)² = 4,507 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,608 × 10⁷ + 4,507 × 10⁷ = 6,115 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 203,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·203,3/6,115 × 10⁷ = 49,87 MPa

Respuesta

σ_inferior = 49,87 MPa

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