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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla la proyección escalar compb a de a = (−1, −1, −6) sobre b = (−6, 0, 5), es decir, la componente de a en la dirección de b.
a = (−1, −1, −6)b = (−6, 0, 5)
compb a =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Una fuerza F = (−60, −20, 30) N actúa en el punto A(0, −4, 2). Las coordenadas están en metros. Halla la componente z Mz del momento de la fuerza respecto a el punto O(3, 1, 0).
F = (−60, −20, 30) NA(0, −4, 2) mO(3, 1, 0) m
Mz = N·m
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
L = 6 mP1 = 25 kN en 1 mP2 = 30 kN en 2 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
Una viga compuesta está empotrada en el muro en A, tiene una rótula interior en C (a 3 m de A) y descansa sobre un apoyo deslizante en D (a 10 m de A). Soporta una carga puntual P a 4 m de A. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
AC = 3 mAD = 10 mP = 15 kN en 4 m
MA = kN·m
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 4 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 40 kN
FBC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kNcarga horizontal = 15 kN →
FBC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2 m. Las patas se unen en el pasador C, a 2,4 m de altura, y el tirante horizontal DE está a 1 m sobre el suelo. En C actúa una carga de 15 kN. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 15 kNAB = 2 maltura de C = 2,4 maltura de DE = 1 m
C = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2,4 m, con su pasador del vértice C a 2 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 4 kN actúa sobre la pata AC en K, a 0,48 m (en horizontal) de A. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 4 kNAB = 2,4 maltura de C = 2 maltura de DE = 1,2 mdistancia horizontal de A a K = 0,48 m
C = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 50 kN·m en x = 1 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mM0 = 50 kN·m en sentido horario, en 1 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 6 mP = 55 kN en 4 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 5 m
Mx = kN·m
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 60 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo Mallow que puede soportar la viga.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−1)·(−6) + (−1)·0 + (−6)·5 = −24
Longitud de b
|b| = √((−6)² + 0² + 5²) = 7,81
Proyección escalar
compb a = a·b/|b| = −24/7,81 = −3,073
Respuesta
compb a = −3,073
Negativa: a tiene una componente que apunta contra b.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: Mz = −240 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vector de posición de O a A
r = A − O = (0, −4, 2) − (3, 1, 0) = (−3, −5, 2) m
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 30·2
RB = 85/6 = 14,17 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 14,17 = 40,83 kN
Respuesta
RA = 40,83 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: MA = 38,57 kN·m
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación. Una rótula interior no puede transmitir momento flector, lo que da una ecuación adicional: el momento respecto a la rótula de las fuerzas de cualquiera de los dos lados es nulo.
Tramo CD
La rótula no tiene momento, así que los momentos respecto a C solo en CD deben equilibrarse.
ΣMC = 0: RD·7 = 15·1
RD = 2,143 kN
VC = 15 − 2,143 = 12,86 kN
Tramo AC
La fuerza en la rótula VC actúa hacia abajo sobre AC (igual y opuesta a su acción sobre CD).
RA = 12,86 = 12,86 kN
MA = 12,86·3 = 38,57 kN·m
Respuesta
MA = 38,57 kN·m
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = −33,54 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 30 = 10 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 + 15·2 → Cy = 10,63 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 10,63 = 44,38 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Fuerza en el tirante a partir de la pata BC
By = 7,5 kN
T = 7,5·1/1,4 = 5,357 kN
Componentes de la fuerza del pasador sobre BC
Cx = T = 5,357 kN, Cy = −By = −7,5 kN
Módulo
C = √(5,357² + 7,5²) = 9,217 kN
Respuesta
C = 9,217 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 1,442 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Reacción de apoyo en B
By = 4·0,48/2,4 = 0,8 kN
Fuerza en el tirante
T = 0,8·1,2/0,8 = 1,2 kN
Fuerza del pasador sobre BC
Cx = 1,2 kN, Cy = −0,8 kN
C = √(1,2² + 0,8²) = 1,442 kN
Respuesta
C = 1,442 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = −5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/10 = 5 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −5 kN (hacia abajo)
Corte justo a la izquierda del par
La parte izquierda solo contiene RA.
Mx = RA·a = −5·1 = −5 kN·m
Respuesta
Mx = −5 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 49,17 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·4 + 5·6·3
RB = 310/6 = 51,67 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 51,67 = 33,33 kN
Corta en x = 5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 33,33·5 − 55·(5 − 4) − 5·5·2,5 = 49,17 kN·m
Respuesta
Mx = 49,17 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (15000·75 − 1963·97,5)/(15000 − 1963) = 71,61 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·150³/12 + 15000·3,389² = 28,3 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·50⁴/64 + 1963·25,89² = 1,623 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 26,67 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Mallow = 10,14 kN·m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.