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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla el producto escalar a·b de a = (3, 2, −6) y b = (−7, −5, −1).
a = (3, 2, −6)b = (−7, −5, −1)
a·b =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Para a = (−3, −5, −1) y b = (4, 1, −3), halla la componente z (a × b)z del producto vectorial a × b.
a = (−3, −5, −1)b = (4, 1, −3)
(a × b)z =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga en voladizo está empotrada en el muro en A. Soporta una carga uniformemente repartida w desde el muro hasta 5 m y una carga puntual P a 10 m del muro. Halla el valor del momento de empotramiento MA en el muro.
L = 10 mP = 65 kN en 10 mw = 8 kN/m de 0 a 5 m
MA = kN·m
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 9 m de A, inclinada 40° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 3 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.
L = 10 mP = 25 kN en 9 m, θ = 40°Q = 30 kN en 3 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 3 mB está a 2 m de Acarga vertical = 15 kN
FAC = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAC en la barra AC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 2 mB está a 3 m de Acarga vertical = 40 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FAC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
En la abrazadera de rodilla mostrada, dos bielas iguales AB y BC están articuladas en B, y cada una forma 12° con la recta AC. En B se aplica una fuerza hacia abajo de 200 N. El deslizador C presiona una pieza. Despreciando el rozamiento y los pesos, halla la fuerza de apriete horizontal Q.
F = 200 Nθ = 12°
Q = N
8.Bastidores y máquinasDifícil
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 4 m, con su pasador del vértice C a 2 m de altura y el tirante horizontal DE a 0,6 m sobre el suelo. Una carga vertical de 8 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,2 m (en horizontal) de A. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.
P = 8 kNAB = 4 maltura de C = 2 maltura de DE = 0,6 mdistancia horizontal de A a K = 1,2 m
C = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 7,5 mP1 = 50 kN en 1 mP2 = 80 kN en 7,5 mapoyos en x = 0 y x = 6 m
Mx = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
55 kN @ 6 m45 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 200 mm de ancho con dos alas verticales de 130 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
b = 200 mmh = 130 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una sección en I simétrica tiene alas de 110 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 360 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 80 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σj en la unión del alma con el ala superior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Multiplica las componentes correspondientes y suma
Negativo: el ángulo entre los vectores es mayor de 90°.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: (a × b)z = 17
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial, componente a componente
(a × b)x = aybz − azby = (−5)·(−3) − (−1)·1 = 16
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·4 − (−3)·(−3) = −13
(a × b)z = axby − aybx = (−3)·1 − (−5)·4 = 17
Componente pedida
(a × b)z = 17
Respuesta
(a × b)z = 17
Comprueba: a × b es perpendicular a ambos vectores, así que su producto escalar con a y con b es cero.
3.Reacciones en vigas
Respuesta: MA = 750 kN·m
Equilibrio de un voladizo: un empotramiento puede empujar hacia arriba y además impedir el giro, así que da una reacción vertical RA y un momento de empotramiento MA. ΣFy = 0 da RA, y los momentos respecto al muro dan MA = Σ(carga × distancia al muro). Una carga repartida actúa como su resultante en el centroide del diagrama de carga.
Resultante de la carga repartida
W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m
Momento respecto al muro
MA = P·a + W·x̄ = 65·10 + 40·2,5 = 750 kN·m
Respuesta
MA = 750 kN·m
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 29,63 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Componentes de P
Pv = 25·sin 40° = 16,07 kN
Ph = 25·cos 40° = 19,15 kN
Reacciones
ΣMA = 0: RB·10 = 16,07·9 + 30·3 → RB = 23,46 kN
Ay = 16,07 + 30 − 23,46 = 22,61 kN
Ax = Ph = 19,15 kN
Resultante en A
RA = √(19,15² + 22,61²) = 29,63 kN
Respuesta
RA = 29,63 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAC = 6 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·2 → Cy = 6 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 6 = 9 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·3 − 20·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 10 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Máquinas: los alicates, las palancas, los mecanismos articulados y las abrazaderas convierten una fuerza de entrada en una fuerza de salida mayor o con otra dirección. Dibuja una parte como cuerpo libre y toma momentos respecto a su pivote: la fuerza en el pasador se elimina, y Fin·a = Fout·b da la ventaja mecánica a/b. La fuerza en el pasador se obtiene después de ΣF = 0 en la misma parte. En un mecanismo de rodilla, dos bielas se unen formando un ángulo pequeño θ; cada biela es un elemento de dos fuerzas, así que una fuerza pequeña F en la articulación crea fuerzas grandes F/(2 sin θ) en las bielas y una fuerza de apriete F/(2 tan θ).
Equilibrio del pasador B
2·Flink·sin 12° = 200
Flink = 481 N
Fuerza de apriete
Q = Flink·cos 12° = 200/(2·tan 12°) = 470,5 N
Respuesta
Q = 470,5 N
La relación de fuerzas Q/F = 2,352 crece sin límite a medida que las bielas se enderezan.
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: C = 4,185 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Reacción de apoyo en B
By = 8·1,2/4 = 2,4 kN
Fuerza en el tirante
T = 2,4·2/1,4 = 3,429 kN
Fuerza del pasador sobre BC
Cx = 3,429 kN, Cy = −2,4 kN
C = √(3,429² + 2,4²) = 4,185 kN
Respuesta
C = 4,185 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 21,67 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·6 = 50·1 + 80·7,5
RB = 650/6 = 108,3 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 108,3 = 21,67 kN
Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda
Mx = RA·1 = 21,67·1 = 21,67 kN·m
Respuesta
Mx = 21,67 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: C (x = 2 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 46 kN, R2 = 114 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 40, MC = 68 kN·m, MD = 39, ME = −2, MF = −55, MG = 0
Respuesta
Marca C: MC = 68 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 10,04 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 200·14 = 2800 mm², y1 = 7 mm
dos alas: A2 = 2·14·116 = 3248 mm², y2 = 14 + 116/2 = 72 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales
Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.