Estática: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Vectores: producto escalar y vectorial

Módulo: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vector unitario: û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Producto escalar: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b: a·b/|b|
Trabajo: W = F·d
Producto vectorial: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Áreas: paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O: M_O = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo: V = |a·(b × c)|

Método

Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.

Reacciones en vigas

Equilibrio: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga
Momento: M = F·d

Método

Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣF_y = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.

Armaduras: método de los nudos

Método de los nudos: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Método de las secciones: ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra: positivo = tracción, negativo = compresión

Método

Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.

Bastidores y máquinas

Equilibrio de cada elemento: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas: fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador: iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador: F = √(F_x² + F_y²)
Palanca, alicates, palanca acodada: F_in·a = F_out·b
Mecanismo de rodilla: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme: resultante w·L en el centro de la carga

Método

Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0; combina las componentes en una magnitud al final.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Problemas de práctica

1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia

Halla la proyección escalar comp_b a de a = (−7, −3, −2) sobre b = (−3, 6, 1), es decir, la componente de a en la dirección de b.

a = (−7, −3, −2)b = (−3, 6, 1)

comp_b a =

2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil

El vector unitario n̂ es perpendicular a a = (−5, −4, −2) y a b = (4, 1, 1) y tiene componente z positiva. Halla su componente y n̂_y.

a = (−5, −4, −2)b = (4, 1, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reacciones en vigasMedia

La viga simplemente apoyada (articulación en A, apoyo deslizante en B) soporta una carga linealmente variable que crece desde cero en A hasta 15 kN/m en B. Halla la reacción vertical R_A.

L = 6 mw₀ = 15 kN/m

R_A = kN

4.Reacciones en vigasDifícil

La viga tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B, a 3 m de A, y vuela más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P a 2 m de A y una carga uniformemente repartida w desde 1,5 m hasta el extremo libre en 4 m. Halla la reacción vertical R_B, tomando positivo hacia arriba.

AB = 3 mAC = 4 mP = 25 kN en 2 mw = 3 kN/m de 1,5 a 4 m

R_B = kN

5.Armaduras: método de los nudosMedia

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 8 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 55 kN

F_AB = kN

6.Armaduras: método de los nudosDifícil

Usa el método de los nudos para hallar la fuerza F_AB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.

luz = 4 maltura = 2 mB está a 1 m de Acarga vertical = 25 kNcarga horizontal = 25 kN →

F_AB = kN

7.Bastidores y máquinasMedia

El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 2 m. Las patas se unen en el pasador C, a 4 m de altura, y el tirante horizontal DE está a 1,2 m sobre el suelo. En C actúa una carga de 15 kN. Halla el valor de la fuerza C que el pasador C ejerce sobre la pata BC.

P = 15 kNAB = 2 maltura de C = 4 maltura de DE = 1,2 m

C = kN

8.Bastidores y máquinasDifícil

La viga AB de la ménsula de pared mostrada está articulada en A y apuntalada por el puntal CD (C está 0,6 m por debajo de A). La viga soporta una carga uniforme de 5 kN/m en toda su longitud y una carga puntual de 3 kN en su extremo libre B. Halla la fuerza F_CD en el puntal.

w = 5 kN/mP = 3 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 4 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

30 kN @ 12 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 120 mm de ancho con dos alas verticales de 100 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 120 mmh = 100 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_inferior = MPa

3Disoluciones

1.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: comp_b a = 0,1474

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Producto escalar

a·b = (−7)·(−3) + (−3)·6 + (−2)·1 = 1

Longitud de b

|b| = √((−3)² + 6² + 1²) = 6,782

Proyección escalar

comp_b a = a·b/|b| = 1/6,782 = 0,1474

Respuesta

comp_b a = 0,1474

2.Vectores: producto escalar y vectorial

Respuesta: n̂_y = −0,2592

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Producto vectorial

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·1 − (−2)·1 = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·4 − (−5)·1 = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·1 − (−4)·4 = 11

Normalizar

La componente z de a × b ya es positiva.

|a × b| = √((−2)² + (−3)² + 11²) = 11,58

n̂ = (−2, −3, 11)/11,58 = (−0,1728, −0,2592, 0,9503)

n̂_y = −0,2592

Respuesta

n̂_y = −0,2592

3.Reacciones en vigas

Respuesta: R_A = 15 kN

Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.

Resultante de la carga triangular

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·4

R_B = 30 kN

R_A = 45 − 30 = 15 kN

Respuesta

R_A = 15 kN

4.Reacciones en vigas

Respuesta: R_B = 23,54 kN

Resultante de la carga repartida

W = 3·2,5 = 7,5 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

Equilibrio

Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 25·2 + 7,5·2,75

R_B = 70,63/3 = 23,54 kN

R_A = 32,5 − 23,54 = 8,958 kN

Respuesta

R_B = 23,54 kN

5.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −53,81 kN

Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣF_x = 0 y ΣF_y = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·1 → C_y = 6,875 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 6,875 = 48,13 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −48,13/0,8944 = −53,81 kN

Respuesta

F_AB = −53,81 kN (compresión)

6.Armaduras: método de los nudos

Respuesta: F_AB = −6,988 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 25·2 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Nudo A

Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6,25/0,8944 = −6,988 kN

Respuesta

F_AB = −6,988 kN (compresión)

7.Bastidores y máquinas

Respuesta: C = 7,964 kN

Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.

Fuerza en el tirante a partir de la pata BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·1/2,8 = 2,679 kN

Componentes de la fuerza del pasador sobre BC

C_x = T = 2,679 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

Módulo

C = √(2,679² + 7,5²) = 7,964 kN

Respuesta

C = 7,964 kN

8.Bastidores y máquinas

Respuesta: F_CD = 18,87 kN

Resultante de la carga uniforme

w·L = 5·1,5 = 7,5 kN en 0,75 m

Momentos respecto a A para la viga

F_CD·0,4472·1,2 = 7,5·0,75 + 3·1,5 = 10,13 kN·m

F_CD = 18,87 kN

Respuesta

F_CD = 18,87 kN

9.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 33,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 40,83, M_D = 55, M_E = 64,17 kN·m, M_F = 33,33, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 64,17 kN·m

10.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 10 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 12 kN, R₂ = 48 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 24, M_C = 48, M_D = 12, M_E = −24, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Respuesta

Marca F: M_F = −60 kN·m

11.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 36,45 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

dos alas: A₂ = 2·14·86 = 2408 mm², y₂ = 14 + 86/2 = 57 mm

Centroide

ȳ = (1680·7 + 2408·57)/4088 = 36,45 mm

Respuesta

ȳ = 36,45 mm

12.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 18,1 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·245 + 4320·120)/6920 = 167 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·10³/12 + 2600·(245 − 167)² = 1,585 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·240³/12 + 4320·(120 − 167)² = 3,026 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,585 × 10⁷ + 3,026 × 10⁷ = 4,612 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 167 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·167/4,612 × 10⁷ = 18,1 MPa

Respuesta

σ_inferior = 18,1 MPa

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