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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla la proyección escalar compb a de a = (−5, 6, −3) sobre b = (4, 0, 2), es decir, la componente de a en la dirección de b.
a = (−5, 6, −3)b = (4, 0, 2)
compb a =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Una fuerza F = (50, 20, 50) N actúa en el punto A(−1, −3, −2). Las coordenadas están en metros. Halla la componente z Mz del momento de la fuerza respecto a el punto O(−3, 1, 0).
F = (50, 20, 50) NA(−1, −3, −2) mO(−3, 1, 0) m
Mz = N·m
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Soporta una carga puntual P a 4 m de A y un par antihorario M a 3,5 m de A. Halla la reacción vertical RB, tomando positivo hacia arriba.
L = 6 mP = 50 kN en 4 mM = 40 kN·m (antihorario) en 3,5 m
RB = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Una carga P actúa a 2,5 m de A, inclinada 60° respecto a la horizontal, y una carga vertical Q actúa a 1 m de A. Halla el valor de la reacción total RA en la articulación A.
L = 5 mP = 55 kN en 2,5 m, θ = 60°Q = 45 kN en 1 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 2 mB está a 6 m de Acarga vertical = 35 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Exactamente un miembro de esta cercha no soporta ninguna fuerza con estas cargas. ¿Cuál es el miembro de fuerza nula? Haz clic en él en el diagrama.
G: 35 kN ↓H: 25 kN ←
1miembro AB
2miembro BC
3miembro CD
4miembro DE
5miembro FG
6miembro GH
7miembro AF
8miembro HE
9miembro BF
10miembro CG
11miembro DH
12miembro BG
13miembro DG
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 3,2 m, con su pasador del vértice C a 4,5 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,2 m sobre el suelo. Una carga vertical de 12 kN actúa sobre la pata AC en K, a 0,64 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.
P = 12 kNAB = 3,2 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 1,2 mdistancia horizontal de A a K = 0,64 m
T = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una pluma horizontal uniforme AB de peso 2 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde su extremo B hasta el punto C de la pared, 2,5 m por encima de A. En B cuelga una carga de 10 kN. Halla la tensión T en el cable.
W = 10 kNWb = 2 kNAB = 2,5 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 6 mP1 = 45 kN en 2,5 mP2 = 65 kN en 4,5 m
Mmax = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
45 kN @ 12 m55 kN @ 4 m10 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 150 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo Mallow que puede soportar la viga.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = (−5)·4 + 6·0 + (−3)·2 = −26
Longitud de b
|b| = √(4² + 0² + 2²) = 4,472
Proyección escalar
compb a = a·b/|b| = −26/4,472 = −5,814
Respuesta
compb a = −5,814
Negativa: a tiene una componente que apunta contra b.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: Mz = 240 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vector de posición de O a A
r = A − O = (−1, −3, −2) − (−3, 1, 0) = (2, −4, −2) m
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Momentos respecto a A
Antihorario positivo.
ΣMA = 0: RB·6 − 50·4 + 40 = 0
RB = 160/6 = 26,67 kN
Equilibrio vertical
RA = 50 − 26,67 = 23,33 kN
Respuesta
RB = 26,67 kN
Una reacción negativa actúa hacia abajo.
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 65,83 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Sustituye cada carga repartida por su resultante (su área) aplicada en el centroide del diagrama de carga, y toma momentos respecto a un apoyo para eliminar la reacción de ese apoyo de la ecuación.
Componentes de P
Pv = 55·sin 60° = 47,63 kN
Ph = 55·cos 60° = 27,5 kN
Reacciones
ΣMA = 0: RB·5 = 47,63·2,5 + 45·1 → RB = 32,82 kN
Ay = 47,63 + 45 − 32,82 = 59,82 kN
Ax = Ph = 27,5 kN
Resultante en A
RA = √(27,5² + 59,82²) = 65,83 kN
Respuesta
RA = 65,83 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −27,67 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·6 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 26,25 = 8,75 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 2/6,325 = 0,3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −8,75/0,3162 = −27,67 kN
Respuesta
FAB = −27,67 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: miembro CG
Miembros de fuerza nula: en un nudo, las fuerzas deben equilibrarse en todas las direcciones. Si un nudo no tiene carga ni apoyo, y dos de sus tres miembros están alineados, el equilibrio perpendicular a esa línea involucra solo al tercer miembro, así que su fuerza es cero. Si en un nudo sin carga solo se unen dos miembros y no están alineados, ambos son nulos.
Nudo C
BC y CD están en una misma línea recta y el nudo no tiene carga. Al equilibrar las fuerzas perpendicularmente a esa línea queda solo CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Comprueba con el método de los nudos
Resolver todos los nudos da estas fuerzas en los miembros (T = tracción, C = compresión).
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Todo el bastidor: momentos respecto a A
By = 12·0,64/3,2 = 2,4 kN
Pata BC: momentos respecto a C
2,4·1,6 = T·3,3
T = 1,164 kN
Respuesta
T = 1,164 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: T = 15,56 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Ángulo del cable
BC = √(2,5² + 2,5²) = 3,536 m, sin β = 0,7071
Momentos respecto a A
T·0,7071·2,5 = 10·2,5 + 2·1,25
T = 15,56 kN
Respuesta
T = 15,56 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 106,3 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·6 = 45·2,5 + 65·4,5
RB = 405/6 = 67,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 67,5 = 42,5 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·2,5 = 42,5·2,5 = 106,3 kN·m
bajo P2: M = RB·1,5 = 67,5·1,5 = 101,3 kN·m
Valor máximo
Mmax = 106,3 kN·m (bajo P1)
Respuesta
Mmax = 106,3 kN·m
10.Cortante y momento flector
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 45 kN, R2 = 135 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 70, MC = 100, MD = −20, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
Respuesta
Marca E: ME = −180 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (15000·75 − 1257·97,5)/(15000 − 1257) = 72,94 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·150³/12 + 15000·2,057² = 28,19 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·40⁴/64 + 1257·24,56² = 0,8835 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 27,3 × 10⁶ mm⁴
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Mallow = 16,4 kN·m
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.