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1Fórmulas y métodos
Vectores: producto escalar y vectorial
Módulo
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vector unitario
û = a/|a|
Componentes a partir de un ángulo
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Producto escalar
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyección escalar de a sobre b
a·b/|b|
Trabajo
W = F·d
Producto vectorial
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Áreas
paralelogramo |a × b|, triángulo ½|a × b|
Momento respecto a O
MO = r × F, r = A − O
Volumen de un paralelepípedo
V = |a·(b × c)|
Método
Escribe cada vector en componentes; para una fuerza dada por un módulo y un ángulo, usa F·cos θ y F·sin θ.
Para longitudes y direcciones usa el módulo √(x² + y² + z²) y el vector unitario a/|a|.
Usa el producto escalar para ángulos, proyecciones, perpendicularidad y trabajo: a·b = |a||b|cos θ.
Usa el producto vectorial para vectores perpendiculares, áreas y momentos: escribe con cuidado las tres componentes, manteniendo el orden a × b.
Reacciones en vigas
Equilibrio
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Momento
M = F·d
Método
Dibuja un diagrama de cuerpo libre y sustituye cada apoyo por sus reacciones.
Sustituye cada carga repartida por una única fuerza aplicada en su centroide.
Toma momentos respecto a un apoyo para hallar la reacción en el otro.
Usa ΣFy = 0 para hallar la reacción restante y compruébala con una segunda ecuación de momentos.
Armaduras: método de los nudos
Método de los nudos
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Método de las secciones
ΣM = 0 about a cut point
Esfuerzo en la barra
positivo = tracción, negativo = compresión
Método
Halla las reacciones en los apoyos de toda la armadura.
Método de los nudos: empieza por un nudo con como mucho dos esfuerzos desconocidos en las barras y usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0.
Método de las secciones: corta por la barra que necesitas y toma momentos respecto a un punto donde se cortan las demás barras desconocidas.
Supón tracción; una respuesta negativa significa compresión.
Bastidores y máquinas
Equilibrio de cada elemento
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Elemento de dos fuerzas
fuerza a lo largo de la recta que pasa por sus dos pasadores
Fuerza en el pasador
iguales y opuestas sobre los dos elementos que une
Magnitud de la fuerza en un pasador
F = √(Fx² + Fy²)
Palanca, alicates, palanca acodada
Fin·a = Fout·b
Mecanismo de rodilla
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Carga uniforme
resultante w·L en el centro de la carga
Método
Dibuja toda la estructura y halla las reacciones en los apoyos si no hay más de tres incógnitas.
Localiza los elementos de dos fuerzas: cargados solo en dos pasadores, su fuerza actúa a lo largo de la recta entre los pasadores.
Desmonta el bastidor y dibuja cada elemento por separado, con fuerzas iguales y opuestas en los pasadores donde se unen los elementos.
Para cada elemento, toma momentos respecto a un pasador con fuerzas desconocidas y después usa ΣFx = 0 y ΣFy = 0; combina las componentes en una magnitud al final.
Cortante y momento flector
Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8
Método
Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Problemas de práctica
1.Vectores: producto escalar y vectorialMedia
Halla la proyección escalar compb a de a = (5, −5, −2) sobre b = (−6, 6, 1), es decir, la componente de a en la dirección de b.
a = (5, −5, −2)b = (−6, 6, 1)
compb a =
2.Vectores: producto escalar y vectorialDifícil
Halla el volumen V del paralelepípedo cuyas aristas desde un vértice son a = (−1, 3, −5), b = (−3, 5, −5) y c = (4, −4, −1).
a = (−1, 3, −5)b = (−3, 5, −5)c = (4, −4, −1)
V =
3.Reacciones en vigasMedia
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
L = 5 mP1 = 40 kN en 2,5 mP2 = 30 kN en 3,5 m
RA = kN
4.Reacciones en vigasDifícil
La viga simplemente apoyada tiene una articulación en A y un apoyo deslizante en B. Halla la reacción vertical RA.
L = 10 mP = 30 kN en 7 mw = 5 kN/m de 4 a 8 m
RA = kN
5.Armaduras: método de los nudosMedia
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FAB en la barra AB. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 5 maltura = 4 mB está a 4 m de Acarga vertical = 10 kN
FAB = kN
6.Armaduras: método de los nudosDifícil
Usa el método de los nudos para hallar la fuerza FBC en la barra BC. Da la tracción como positiva y la compresión como negativa.
luz = 8 maltura = 4 mB está a 6 m de Acarga vertical = 20 kNcarga horizontal = 20 kN ←
FBC = kN
7.Bastidores y máquinasMedia
El bastidor en A mostrado se apoya en un pasador en A y en un rodillo en B, separados 5 m, con su pasador del vértice C a 4,5 m de altura y el tirante horizontal DE a 1,5 m sobre el suelo. Una carga vertical de 15 kN actúa sobre la pata AC en K, a 1,25 m (en horizontal) de A. Halla la tensión T en el tirante.
P = 15 kNAB = 5 maltura de C = 4,5 maltura de DE = 1,5 mdistancia horizontal de A a K = 1,25 m
T = kN
8.Bastidores y máquinasDifícil
Una pluma horizontal uniforme AB de peso 1 kN está articulada a una pared en A y sujeta por un cable desde su extremo B hasta el punto C de la pared, 1,5 m por encima de A. En B cuelga una carga de 5 kN. Halla la tensión T en el cable.
W = 5 kNWb = 1 kNAB = 2,5 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Cortante y momento flectorMedia
El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 1 m de A. Halla el momento flector MA en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 2,5 mP = 80 kN en 1 mw = 3 kN/m de 0 a 2,5 m
MA = kN·m
10.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
40 kN @ 12 m45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 180 mm de ancho con dos alas verticales de 170 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 20 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 180 mmh = 170 mmt = 20 mm
ȳ = mm
12.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Producto escalar
a·b = 5·(−6) + (−5)·6 + (−2)·1 = −62
Longitud de b
|b| = √((−6)² + 6² + 1²) = 8,544
Proyección escalar
compb a = a·b/|b| = −62/8,544 = −7,257
Respuesta
compb a = −7,257
Negativa: a tiene una componente que apunta contra b.
2.Vectores: producto escalar y vectorial
Respuesta: V = 4
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Producto vectorial b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·(−1) − (−5)·(−4) = −25
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·4 − (−3)·(−1) = −23
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·(−4) − 5·4 = −8
Producto escalar con a
a·(b × c) = (−1)·(−25) + 3·(−23) + (−5)·(−8) = −4
V = |−4| = 4
Respuesta
V = 4
3.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 29 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2,5 + 30·3,5
RB = 205/5 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 41 = 29 kN
Respuesta
RA = 29 kN
4.Reacciones en vigas
Respuesta: RA = 17 kN
Equilibrio estático: un cuerpo en reposo cumple ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 respecto a cualquier punto. Tomar momentos respecto a un apoyo elimina su reacción de la ecuación.
Diagrama de cuerpo libre
Sustituye los apoyos por fuerzas de reacción. Un apoyo deslizante da una reacción vertical; con solo cargas verticales, la articulación también da una reacción vertical.
Equilibrio
Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario. Después, equilibrio de fuerzas verticales.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aplicada en x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·7 + 5·4·6
RB = 330/10 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 33 = 17 kN
Respuesta
RA = 17 kN
5.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FAB = −2,828 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·4 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8 = 2 kN
Nudo A
Supón que todas las barras están a tracción (tiran hacia fuera del nudo). Solo AB tiene componente vertical en A.
sin α = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −2/0,7071 = −2,828 kN
Respuesta
FAB = −2,828 kN (compresión)
6.Armaduras: método de los nudos
Respuesta: FBC = −5,59 kN
Método de los nudos: cada nudo de una armadura está en equilibrio, así que ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo. Empieza por un nudo con como mucho dos fuerzas de barra desconocidas. Un resultado negativo significa que la barra está a compresión.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la armadura. Momentos respecto a A, positivos en sentido antihorario.
ΣMA = 0: Cy·8 = 20·6 − 20·4 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 5 = 15 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Nudo C
El apoyo deslizante solo da una reacción vertical, así que el nudo C tiene solo dos fuerzas de barra desconocidas. Supón ambas a tracción.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Todo el bastidor: momentos respecto a A
By = 15·1,25/5 = 3,75 kN
Pata BC: momentos respecto a C
3,75·2,5 = T·3
T = 3,125 kN
Respuesta
T = 3,125 kN
8.Bastidores y máquinas
Respuesta: T = 10,69 kN
Bastidores y máquinas: a diferencia de una armadura, un bastidor contiene al menos un elemento que soporta fuerzas en más de dos puntos, o una carga entre sus pasadores. Busca primero los elementos de dos fuerzas: un elemento cargado solo en dos pasadores tiene su fuerza a lo largo de la recta que los une, así que aporta una incógnita, no dos. Después usa toda la estructura para hallar las reacciones en los apoyos cuando no hay más de tres incógnitas. Por último, desmonta el bastidor: dibuja cada elemento por separado, con las fuerzas en los pasadores iguales y opuestas en los dos elementos que conectan, y escribe ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣM = 0 para él. Tomar momentos respecto a un pasador elimina de la ecuación las dos componentes de la fuerza de ese pasador.
Ángulo del cable
BC = √(2,5² + 1,5²) = 2,915 m, sin β = 0,5145
Momentos respecto a A
T·0,5145·2,5 = 5·2,5 + 1·1,25
T = 10,69 kN
Respuesta
T = 10,69 kN
9.Cortante y momento flector
Respuesta: MA = −89,38 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Quédate con la parte del extremo libre
P: −80·1 = −80 kN·m
w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m
MA = −80 − 9,375 = −89,38 kN·m
Respuesta
MA = −89,38 kN·m
Negativo significa tracción en la cara superior.
10.Cortante y momento flector
Respuesta: E (x = 8 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 18,5 kN, R2 = 98,5 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 29, MC = 42, MD = −51, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
Respuesta
Marca E: ME = −160 kN·m
11.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 63,13 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 180·20 = 3600 mm², y1 = 10 mm
dos alas: A2 = 2·20·150 = 6000 mm², y2 = 20 + 150/2 = 95 mm
Centroide
ȳ = (3600·10 + 6000·95)/9600 = 63,13 mm
Respuesta
ȳ = 63,13 mm
12.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σsuperior = 55,69 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 200 + 15/2 = 207,5 mm