Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 14, 43, 10, 42, 49.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 70 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 76?
μ = 70σ = 15x = 76
P =
3.ProbabilidadMedia
Una bolsa tiene 8 bolas rojas y 9 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
8 / 9
P =
4.ProbabilidadDifícil
Se prueban 5 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,2, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
n = 5p = 0,2
P =
5.Distribución normalMedia
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 96,25 y 112,75 puntos? Da P como número decimal.
μ = 100σ = 15x1 = 96,25x2 = 112,75
P =
6.Distribución normalDifícil
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 21 elementos tiene media 108,5 y desviación típica s = 19. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 21x̄ = 108,5s = 1995%t(20) = 2,086
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 38. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 38E = 599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 502,1 y una desviación típica muestral de 8. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 8n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 80 frente a H₁: μ > 80 con α = 0,10 y una muestra de 36; se sabe que la desviación típica es 3. En realidad la media es 81,5. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 80μ = 81,5σ = 3n = 36α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 15?
n = 5ŷ = 15
x =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 18,15
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 158/5 = 31,6
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−17,6)² + 11,4² + (−21,6)² + 10,4² + 17,4² = 1317
Desviación típica
s = √(1317/4) = 18,15
Respuesta
s = 18,15
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,6554
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = 0,4
Tabla de la normal estándar
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Respuesta
P = 0,6554
3.Probabilidad
Respuesta: P = 0,2059
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primera y segunda extracción
P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059
Respuesta
P = 0,2059
4.Probabilidad
Respuesta: P = 0,7373
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Cero y un fallo
P(X = 0) = 0,85 = 0,3277
P(X = 1) = 5·0,2·0,84 = 0,4096
Súmalas
P = 0,3277 + 0,4096 = 0,7373
Respuesta
P = 0,7373
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,401
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25
z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85
Área entre ambos valores
P = Φ(0,85) − Φ(−0,25) = 0,8023 − 0,4013 = 0,401
Respuesta
P = 0,401
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Tipificar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 117,1
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 2,086
Margen de error
E = 2,086·19/√21 = 8,649
Intervalo
108,5 ± 8,649 → [99,85, 117,1]
Respuesta
límite superior = 117,1
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 384
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·38/5)² = 383,3
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 384
Respuesta
n = 384
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 2,1
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Estadístico de contraste
t = (502,1 − 500)/1 = 2,1
Respuesta
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 95,71 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 3/√36 = 0,5
x̄c = 80 + 1,282·0,5 = 80,64
z con la media verdadera
z = (80,64 − 81,5)/0,5 = −1,718
Potencia
potencia = P(Z > −1,718) = 95,71%
1 − β = 95,71%
Respuesta
1 − β = 95,71%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9621
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 91,5
Coeficiente de correlación
r = −38,5/√(17,5·91,5) = −0,9621
Respuesta
r = −0,9621
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: x = 5,043
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 86/5 = 17,2
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92
Recta de regresión
b = 92/40 = 2,3
a = 17,2 − 2,3·6 = 3,4
ŷ = 3,4 + 2,3·x
Despeja x
x = (15 − 3,4)/2,3 = 5,043
Respuesta
x = 5,043
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