Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 42, 20, 49, 51, 44.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 8. Calcula la puntuación z z de una nota de 116.
μ = 100σ = 8x = 116
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,1, 0,35, 0,3, 0,1
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 1 €. Ganas 4 € con probabilidad 0,2 y 10 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €1€4: p = 0,2€10: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Supón que las notas de un examen siguen una distribución normal con media 65 puntos y desviación típica 10 puntos. ¿Qué fracción está entre 50,5 y 75,5 puntos? Da P como número decimal.
μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 75,5
P =
6.Distribución normalDifícil
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 40 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h40%
x = h
7.Intervalos de confianzaMedia
Se mide la tensión arterial de 9 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 2,7 y desviación típica 7,8. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.
n = 9d̄ = 2,7sd = 7,890%t(8) = 1,86
límite inferior = mmHg
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 11. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 3?
σ = 11E = 390%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 120,4 y una desviación típica muestral de 5. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 120,4s = 5n = 64
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 90 % para una media tenga un margen de error de como mucho 2? La desviación típica es 4. Calcula el menor tamaño muestral n.
σ = 4E = 290%
n =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
n = 6Σx = 21Σy = 112Σx² = 91Σy² = 2134Σxy = 367
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (19,5, 109). Halla su residuo e = y − ŷ.
n = 5(19,5, 109)
e =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 12,4
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 206/5 = 41,2
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 0,8² + (−21,2)² + 7,8² + 9,8² + 2,8² = 614,8
Desviación típica
s = √(614,8/4) = 12,4
Respuesta
s = 12,4
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (116 − 100)/8 = 2
Respuesta
z = 2
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 1,39
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,15 + 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,3 + 4·0,1 = 2,1
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,15 + 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5,8
Varianza
Var(X) = 5,8 − 2,1² = 1,39
Respuesta
Var(X) = 1,39
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = −0,1 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 3 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 3·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,1 €
Respuesta
E(G) = −0,1 €
Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,7796
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Puntuaciones z
z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45
z₂ = (75,5 − 65)/10 = 1,05
Área entre ambos valores
P = Φ(1,05) − Φ(−1,45) = 0,8531 − 0,07353 = 0,7796
Respuesta
P = 0,7796
6.Distribución normal
Respuesta: x = 490 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,4
z según la tabla
z ≈ −0,25
De vuelta a las unidades originales
x = 500 − 0,25·40 = 490 h
Respuesta
x = 490 h
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite inferior = −2,136 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 8, t = 1,86
Margen de error
E = 1,86·7,8/√9 = 4,836
Intervalo
2,7 ± 4,836 → [−2,136, 7,536]
Respuesta
límite inferior = −2,136 mmHg
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 37
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·11/3)² = 36,38
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 37
Respuesta
n = 37
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = 0,64
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 5/√64 = 5/8 = 0,625
Estadístico de contraste
t = (120,4 − 120)/0,625 = 0,64
Respuesta
t = 0,64
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: n = 11
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Despejar n
n = (1,645·4/2)² = 10,82
Redondear hacia arriba
n = 11
Respuesta
n = 11
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = −0,9078
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Sumas centradas
Sxy = 367 − 21·112/6 = −25
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2134 − 112²/6 = 43,33
Coeficiente de correlación
r = −25/√(17,5·43,33) = −0,9078
Respuesta
r = −0,9078
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: e = 3,85
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 570/5 = 114
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 531
Recta de regresión
b = 531/90 = 5,9
a = 114 − 5,9·21 = −9,9
ŷ = −9,9 + 5,9·x
Valor predicho
ŷ = −9,9 + 5,9·19,5 = 105,2
Residuo
e = 109 − 105,2 = 3,85
Respuesta
e = 3,85
El punto está por encima de la recta.
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