Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 17, 48, 36, 55, 34.
n = 5
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Una magnitud sigue una distribución normal con media 100 y desviación típica 8. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 93,6?
μ = 100σ = 8x = 93,6
P =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 25 € con probabilidad 0,3 y 250 € con probabilidad 0,02; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €5€25: p = 0,3€250: p = 0,02
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
X es normal con media 12 min y desviación típica 1,5 min; Y es independiente y normal con media 20 min y desviación típica 2 min. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 30,8 min. Redondea z a dos decimales.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 30,8 min
P =
6.Distribución normalDifícil
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 6 elementos tiene media 56,5 y desviación típica s = 15. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para la media.
n = 6x̄ = 56,5s = 1590%t(5) = 2,015
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 18. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 99 % para la media tenga un margen de error de como máximo 5?
σ = 18E = 599%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
16 empleados hacen una prueba de mecanografía antes y después de un curso de formación. Para cada persona se registra la diferencia d = después − antes (palabras por minuto). La diferencia media es −4,18 y la desviación típica de las diferencias es 7,6. Halla el estadístico del contraste para datos emparejados t para H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = −4,18sd = 7,6
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Una muestra de 49 medidas tiene media 76,2. La desviación típica poblacional es 5. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
x̄ = 76,2σ = 5n = 4990%
L =
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 2.
n = 6x = 2
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 14,58
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 190/5 = 38
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = (−21)² + 10² + (−2)² + 17² + (−4)² = 850
Desviación típica
s = √(850/4) = 14,58
Respuesta
s = 14,58
2.Estadística descriptiva
Respuesta: P = 0,2119
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −0,8
Tabla de la normal estándar
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 0,2119
Respuesta
P = 0,2119
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 5,79
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3,1
Media de los cuadrados
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,4
Varianza
Var(X) = 15,4 − 3,1² = 5,79
Respuesta
Var(X) = 5,79
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = 7,5 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 20 (p = 0,3), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,68)
Valor esperado
E(G) = 20·0,3 + 245·0,02 − 5·0,68 = 7,5 €
Respuesta
E(G) = 7,5 €
Un valor positivo significa que ganas dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: P = 0,6844
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la suma
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Tipificar
z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48
Cola superior
P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844
Respuesta
P = 0,6844
6.Distribución normal
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Distribución de la diferencia
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Tipificar
z = (0 − 10)/10 = −1
Probabilidad
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Respuesta
P = 0,8413
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 68,84
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margen de error
E = 2,015·15/√6 = 12,34
Intervalo
56,5 ± 12,34 → [44,16, 68,84]
Respuesta
límite superior = 68,84
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 86
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (2,576·18/5)² = 86
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 86
Respuesta
n = 86
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −2,2
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Error típico de la diferencia media
SE = 7,6/√16 = 1,9
Estadístico de contraste
t = −4,18/1,9 = −2,2
Respuesta
t = −2,2
Con gl = 15, el valor crítico bilateral al 5 % es 2,131; |t| es mayor, así que se rechaza H₀.
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: L = 75,03
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Margen de error
E = 1,645·5/√49 = 1,175
Límite del intervalo
L = 76,2 − 1,175 = 75,03
Respuesta
L = 75,03
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,9945
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 130/5 = 26
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152
Syy = Σ(y − ȳ)² = 584
Coeficiente de correlación
r = 152/√(40·584) = 0,9945
Respuesta
r = 0,9945
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 41,81
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 387/6 = 64,5
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 397
Recta de regresión
b = 397/70 = 5,671
a = 64,5 − 5,671·6 = 30,47
ŷ = 30,47 + 5,671·x
Predicción
ŷ = 30,47 + 5,671·2 = 41,81
Respuesta
ŷ = 41,81
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