Introducción a la estadística: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Estadística descriptiva

Media: x̄ = Σx/n
Desviación típica muestral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor central de los datos ordenados
Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Distribución normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidad

Complementario: P(not A) = 1 − P(A)
Regla de la suma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribución normal

Puntuación z: z = (x − μ)/σ
Por debajo de x: P(X < x) = Φ(z)
Por encima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre dos valores: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.

Intervalos de confianza

σ conocida: x̄ ± z·σ/√n
σ desconocida: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamaño muestral: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Contraste z para una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Contraste t para una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral al 5%: rechaza H₀ si |z| > 1,96
Intervalo de confianza: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.

Regresión lineal y correlación

Sumas de cuadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente: b = S_xy/S_xx
Ordenada en el origen: a = ȳ − b·x̄
Correlación: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Problemas de práctica

1.Estadística descriptivaMedia

Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 27, 47, 35, 51, 24.

n = 5

s =

2.Estadística descriptivaDifícil

Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 170 y desviación típica 10. Calcula la puntuación z z de una nota de 176.

μ = 170σ = 10x = 176

z =

3.ProbabilidadMedia

Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,05, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadDifícil

X tiene la distribución mostrada, y Y = 10X + 5. Halla la desviación típica σ_Y de Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,1, 0,35, 0,2Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Distribución normalMedia

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 82 y 130 puntos? Da P como número decimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 82x₂ = 130

P =

6.Distribución normalDifícil

Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Halla el valor x por debajo del cual queda el 80 % de los datos (el percentil 80).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = puntos

7.Intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 9 elementos tiene media 41 y desviación típica s = 14. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la media.

n = 9x̄ = 41s = 1490%t(8) = 1,86

límite inferior =

8.Intervalos de confianzaDifícil

Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,4 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 90 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,01?

p ≈ 0,4E = 0,0190%

n =

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia

Una muestra de 64 estudiantes tiene una nota media de 69,5 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,5s = 20n = 64

t =

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil

Un contraste z unilateral con α = 0,01 debe detectar un desplazamiento de la media de 1 unidades con una potencia del 95 %. La desviación típica es 6. Halla el tamaño muestral mínimo n.

α = 0,01potencia = 95%δ = 1σ = 6z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Regresión lineal y correlaciónMedia

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.

n = 6

r² =

12.Regresión lineal y correlaciónDifícil

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Disoluciones

1.Estadística descriptiva

Respuesta: s = 11,92

Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.

Media

x̄ = 184/5 = 36,8

Desviaciones al cuadrado

Σ(x − x̄)² = (−9,8)² + 10,2² + (−1,8)² + 14,2² + (−12,8)² = 568,8

Desviación típica

s = √(568,8/4) = 11,92

Respuesta

s = 11,92

2.Estadística descriptiva

Respuesta: z = 0,6

Tipificar

z = (176 − 170)/10 = 0,6

Respuesta

z = 0,6

3.Probabilidad

Respuesta: Var(X) = 1,548

Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σ_Y = |a|·σ_X; sumar una constante no cambia la dispersión.

Media

μ = 0·0,35 + 1·0,05 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,55

Media de los cuadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,05 + 4·0,3 + 9·0,3 = 3,95

Varianza

Var(X) = 3,95 − 1,55² = 1,548

Respuesta

Var(X) = 1,548

4.Probabilidad

Respuesta: σ_Y = 115,8

Dispersión de X

μ = 24, Var(X) = 134, σ_X = 11,58

Cambio lineal

σ_Y = |10|·11,58 = 115,8

Respuesta

σ_Y = 115,8

La media sí se desplaza: E(Y) = 10·24 + 5 = 245.

5.Distribución normal

Respuesta: P = 0,8622

Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.

Puntuaciones z

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Área entre ambos valores

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Respuesta

P = 0,8622

6.Distribución normal

Respuesta: x = 112,6 puntos

z del percentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Vuelta a x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 puntos

Respuesta

x = 112,62 puntos

7.Intervalos de confianza

Respuesta: límite inferior = 32,32

Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.

Valor crítico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margen de error

E = 1,86·14/√9 = 8,68

Intervalo

41 ± 8,68 → [32,32, 49,68]

Respuesta

límite inferior = 32,32

8.Intervalos de confianza

Respuesta: n = 6495

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Despejar n

n = 1,645²·0,4·0,6/0,01² = 6494

Redondear hacia arriba

n = 6495

Respuesta

n = 6495

9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: t = −2,2

Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).

Error típico

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Estadístico de contraste

t = (69,5 − 75)/2,5 = −2,2

Respuesta

t = −2,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).

10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza

Respuesta: n = 568

Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.

Despejar n

n = ((2,326 + 1,645)·6/1)² = 567,7

Redondear hacia arriba

n = 568

Respuesta

n = 568

11.Regresión lineal y correlación

Respuesta: r² = 0,7171

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 296/6 = 49,33

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 147,3

Coeficiente de determinación

r² = 43²/(17,5·147,3) = 0,7171

Respuesta

r² = 0,7171

Aproximadamente el 71,71 % de la variación de y queda explicada por la recta.

12.Regresión lineal y correlación

Respuesta: ŷ = 42,17

Medias

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 253/6 = 42,17

Sumas de cuadrados y de productos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52,5

Recta de regresión

b = 52,5/17,5 = 3

a = 42,17 − 3·4,5 = 28,67

ŷ = 28,67 + 3·x

Predicción

ŷ = 28,67 + 3·4,5 = 42,17

Respuesta

ŷ = 42,17

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