Estadística descriptiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Desviación típica muestral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor central de los datos ordenados
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Distribución normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introducción a la estadística: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 12 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Probabilidad
- Complementario
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regla de la suma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Sucesos independientes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidad condicionada
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribución normal
- Puntuación z
- z = (x − μ)/σ
- Por debajo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Por encima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre dos valores
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Convierte el valor en una puntuación z: z = (x − μ)/σ.
- Busca Φ(z), el área a la izquierda de z.
- Para el área a la derecha usa 1 − Φ(z); para un intervalo resta las dos áreas a la izquierda.
- Para un percentil, trabaja al revés: halla z para el área y luego x = μ + z·σ.
Intervalos de confianza
- σ conocida
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconocida
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamaño muestral
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Decide entre z (σ poblacional conocida) y t (solo la s muestral, con n − 1 grados de libertad).
- Halla el valor crítico para el nivel de confianza.
- Margen de error: E = valor crítico × desviación típica/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
- Contraste z para una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Contraste t para una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral al 5%
- rechaza H0 si |z| > 1,96
- Intervalo de confianza
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncia H₀ y H₁ y decide si el contraste es unilateral o bilateral.
- Calcula el estadístico de contraste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), o con s y t.
- Compáralo con el valor crítico o halla el p-valor.
- Rechaza H₀ si el estadístico supera el valor crítico (p menor que α) y expresa la conclusión con palabras.
Regresión lineal y correlación
- Sumas de cuadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendiente
- b = Sxy/Sxx
- Ordenada en el origen
- a = ȳ − b·x̄
- Correlación
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Problemas de práctica
1.Estadística descriptivaMedia
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 46, 25, 33, 25, 54, 10, 29.
n = 7
s =
2.Estadística descriptivaDifícil
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 50. Calcula la puntuación z z de una nota de 600.
μ = 500σ = 50x = 600
z =
3.ProbabilidadMedia
Para la distribución mostrada, halla la varianza Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3
Var(X) =
4.ProbabilidadDifícil
Jugar una partida cuesta 5 €. Ganas 10 € con probabilidad 0,2 y 100 € con probabilidad 0,01; en otro caso no ganas nada. La apuesta no se devuelve. Halla la ganancia neta esperada E(G) por partida.
apuesta = €5€10: p = 0,2€100: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribución normalMedia
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,8385. Halla z con dos decimales.
A = 0,8385
z =
6.Distribución normalDifícil
Para las puntuaciones de CI, la distribución es normal, con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. Arrastra el punto de corte para que el 20 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
μ = 100 puntosσ = 15 puntos20%
x = puntos
7.Intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 10 elementos tiene media 12 y desviación típica s = 19. La población es aproximadamente normal. Calcula el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para la media.
n = 10x̄ = 12s = 1995%t(9) = 2,262
límite superior =
8.Intervalos de confianzaDifícil
La desviación típica poblacional es 29. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 2,5?
σ = 29E = 2,590%
n =
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaMedia
Una muestra de 81 estudiantes tiene una nota media de 98,5 y una desviación típica muestral de 15. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,5s = 15n = 81
t =
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianzaDifícil
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 80 frente a H₁: μ > 80 con α = 0,10 y una muestra de 64; se sabe que la desviación típica es 20. En realidad la media es 84,5. Halla la potencia 1 − β del contraste en porcentaje.
μ₀ = 80μ = 84,5σ = 20n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.Regresión lineal y correlaciónMedia
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresión lineal y correlaciónDifícil
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 21.
n = 5x = 21
ŷ =
3Disoluciones
1.Estadística descriptiva
Respuesta: s = 14,56
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Media
x̄ = 222/7 = 31,71
Desviaciones al cuadrado
Σ(x − x̄)² = 14,29² + (−6,714)² + 1,286² + (−6,714)² + 22,29² + (−21,71)² + (−2,714)² = 1271
Desviación típica
s = √(1271/6) = 14,56
Respuesta
s = 14,56
2.Estadística descriptiva
Respuesta: z = 2
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = (600 − 500)/50 = 2
Respuesta
z = 2
3.Probabilidad
Respuesta: Var(X) = 1,327
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Media
μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,65
Media de los cuadrados
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,35
Varianza
Var(X) = 8,35 − 2,65² = 1,327
Respuesta
Var(X) = 1,327
4.Probabilidad
Respuesta: E(G) = −2 €
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
Resultados netos
G: 5 (p = 0,2), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 5·0,2 + 95·0,01 − 5·0,79 = −2 €
Respuesta
E(G) = −2 €
Un valor negativo significa que pierdes dinero de media.
5.Distribución normal
Respuesta: z = 1,4
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda de z
Φ(z) = (1 + 0,8385)/2 = 0,9192
Lee la tabla de z al revés
Busca 0,9192 dentro de la tabla y lee z.
z = 1,40
Respuesta
z = 1,40
6.Distribución normal
Respuesta: x = 87,4 puntos
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Área a la izquierda
Φ(z) = 0,2
z según la tabla
z ≈ −0,84
De vuelta a las unidades originales
x = 100 − 0,84·15 = 87,4 puntos
Respuesta
x = 87,4 puntos
7.Intervalos de confianza
Respuesta: límite superior = 25,59
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 2,262
Margen de error
E = 2,262·19/√10 = 13,59
Intervalo
12 ± 13,59 → [−1,591, 25,59]
Respuesta
límite superior = 25,59
8.Intervalos de confianza
Respuesta: n = 365
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Despejar n
n = (1,645·29/2,5)² = 364,1
Redondear hacia arriba
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
n = 365
Respuesta
n = 365
9.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: t = −0,9
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Error típico
SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667
Estadístico de contraste
t = (98,5 − 100)/1,667 = −0,9
Respuesta
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
10.Contrastes de hipótesis e intervalos de confianza
Respuesta: 1 − β = 69,78 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Media muestral crítica
SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 80 + 1,282·2,5 = 83,2
z con la media verdadera
z = (83,2 − 84,5)/2,5 = −0,518
Potencia
potencia = P(Z > −0,518) = 69,78%
1 − β = 69,78%
Respuesta
1 − β = 69,78%
11.Regresión lineal y correlación
Respuesta: r = 0,924
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 288/5 = 57,6
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 237,2
Coeficiente de correlación
r = 45/√(10·237,2) = 0,924
Respuesta
r = 0,924
12.Regresión lineal y correlación
Respuesta: ŷ = 66,45
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Medias
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 357/5 = 71,4
Sumas de cuadrados y de productos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198
Recta de regresión
b = 198/40 = 4,95
a = 71,4 − 4,95·22 = −37,5
ŷ = −37,5 + 4,95·x
Predicción
ŷ = −37,5 + 4,95·21 = 66,45
Respuesta
ŷ = 66,45
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1